🗊Презентация Приведение произвольной системы сил к центру

План лекции

На предыдущей лекции

Цель лекции

Лемма о параллельном переносе силы

Сальвадор Дали

Лемма о параллельном переносе силы

Лемма о параллельном переносе силы Доказательство. Пусть сила F приложена в точке А. (Добавим к ней уравновешенную систему сил, приложенную в точке B: {F’, -F’} ~ 0, F = F’. Тогда F~ {F,F’,−F’} = {(F,−F’),F’}, поскольку силы F,-F’ образуют пару сил с моментом  m (F,-F’) = Лемма доказана.

Иллюстрация Если удерживать рукой однородный брусок весом P за его середину (рис. а), то нужно просто тянуть вверх с силой Q = P. Чтобы удержать брусок в равновесии в случае (рис. б), необходимо не только тянуть вверх с силой Q = P, но и создавать момент

Главный вектор и главный момент системы сил Главный вектор данной системы сил – вектор равный геометрической сумме всех сил системы.

Главный вектор и главный момент системы сил Главный вектор системы сил от выбора центра приведения не зависит. Главный момент системы изменяется при смене центра приведения. Как именно? = 

Основная теорема статики Теорема. Произвольную систему сил можно заменить совокупностью одной силы, приложенной в произвольно выбранной точке (центре приведения) и равной главному вектору системы сил, и одной пары сил с моментом, равным главному моменту системы относительно этой точки.

Доказательство Дана система сил {F , F ,…, F }.Выберем произвольную точку А за центр приведения. Согласно теореме о параллельном переносе силы, перенесем все силы параллельно в точку А. В результате получим систему сходящихся сил (,,…,) и систему пар сил () (рис. 6.4). Систему сходящихся сил заменим силой R: а систему пар – результирующей парой, момент которой равен М:

Критерий эквивалентности Основная теорема статики позволяет сформулировать Критерий эквивалентности действия на абсолютно твердое тело различных систем сил: для эквивалентности двух систем сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы их главные векторы и главные моменты относительно некоторой точки были одинаковы. Основная теорема статики является конструктивной, она дает простой способ аналитического определения главного вектора и главного момента любой системы сил.

Аналитическое определение главного вектора и главного момента  

Немного истории Французский механик Луи Пуансо (Poinsot) (1777-1859) доказал основную теорему статики в 1804 г.

ПРИМЕР Задача. Привести к центру О систему сил P, F1, F2, F3 (рис. 6.5), если Р = 30 Н, F1 = F2 = = F3 = 20 Н, а = 0,3 м, b = 0,5 м,  = 60°. Решение. Найдем главный вектор и главный момент системы сил, действующих на пластину. Т.к. данная система сил плоская, то - 40 (н), (н), (н.м). Т.о. исходная система сил заменяется силой и парой сил с моментом н.м

Условия равновесия произвольной системы сил Любая система сил будет эквивалентна нулю, если равны нулю ее главный вектор и главный момент. В координатной форме эти условия равновесия имеют вид:

Условия равновесия различных систем сил Для системы параллельных сил в пространстве (линии действия параллельны оси Oz): Для пространственной системы сходящихся сил: Остальные три условия равновесия выполняются тождественно.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил Основная форма условий равновесия: Вторая форма условий равновесия: Дополнительное условие: отрезок АВ не должен быть перпендикулярен оси Х. Третья форма условий равновесия: Дополнительное условие: точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.

Статические инварианты Инварианты – величины, неизменные при некотором преобразовании. Статические инварианты – величины, не зависящие от выбора центра приведения. I статический инвариант – главный вектор системы сил. II статический инвариант - скалярное произведение главного вектора и главного момента системы.

Убедимся в том, что R* . - статический инвариант.

Частные случаи приведения 1.  – уравновешенная система сил. 2. – Система сил приводится к равнодействующей, проходящей через точку О. 3. – система сил приводится к паре с моментом , главные моменты сил относительно любых точек равны. Действительно, 4. В этом случае равен нулю II статический инвариант и данная система сил также приводится к равнодействующей.

Частные случаи приведения , . В этом случае система сил приводится к силе и паре сил , лежащей в плоскости, перпендикулярной к . Такая совокупность силы и пары сил называется динамой, а прямая, вдоль которой направлен главный вектор, – осью динамы.

ПОДВЕДЕМ ИТОГИ Мы выяснили, как решается первая задача статики – к какому простейшему виду приводится любая система сил: в общем случае – к совокупности одной силы и одной пары сил. Если произвольная система сил не уравновешена, то она приводится либо к паре сил, либо к равнодействующей, либо к динаме. Теперь мы знаем, как выглядят аналитические условия равновесия для любой возможной системы сил. Эти знания понадобятся нам при решении практических задач о равновесии тела или системы тел, находящихся под действием любых заданных сил и нагрузок. Эти вопросы будут рассмотрены на следующей лекции, тема которой – РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМ ТЕЛ

Тема следующей лекции

Вопросы для самоконтроля