🗊Презентация Простейшая задача вариационного исчисления

Раздел 1. Простейшая задача вариационного исчисления 1.1. Введение В этом разделе мы рассмотрим важнейшие понятия вариационного исчисления: введем понятие функционала и рассмотрим такие важные понятия, как вариации кривых и функционалов. При этом мы будем двигаться примерно тем же путем, которым развивалось вариационное исчисление со времен Л.Эйлера во второй половине XVIII - начале XIX веков. Сначала мы построим уравнение Эйлера - Лагранжа – важнейшее необходимое условие экстремума функционала, позволяющее определить подозрительную на экстремум функцию, затем получим необходимые условия А.-М.Лежандра и К.Вейерштрасса, которые разрабатывались с конца XVIII по вторую половину XIX века. 1

1.2. Функционалы. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления 1.2. Функционалы. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления Введем понятие функционала и рассмотрим его характерные примеры. О1. Функционалом назовем отображение из некоторого множества в числовую ось. Пример 1. Скалярное произведение 2-х векторов: есть типичный функционал: отображение из n-мерного пространства Rn в числовую ось R. Пример 2. Задача о кратчайшем расстоянии между точками а и b, соединенными кривыми в плоскости (x,y). Это расстояние выражается таким функционалом: 2