🗊Презентация Сильный взрыв в воздухе

Рассмотрим сначала, как распространяется фронт ударной волны. Радиус фронта R является функцией энергии взрыва Е, времени t и невозмущенной плотности воздуха Зависимостью радиуса от атмосферного давления р1 пренебрегаем, так как оно мало по сравнению с давлением р2 с внутренней поверхности фронта. Ниже мы покажем, что для плотности воздуха это не так: плотность 2 с внутренней поверхности фронта, хотя и больше 1, но имеет тот же порядок величины, что и 1. Рассмотрим сначала, как распространяется фронт ударной волны. Радиус фронта R является функцией энергии взрыва Е, времени t и невозмущенной плотности воздуха Зависимостью радиуса от атмосферного давления р1 пренебрегаем, так как оно мало по сравнению с давлением р2 с внутренней поверхности фронта. Ниже мы покажем, что для плотности воздуха это не так: плотность 2 с внутренней поверхности фронта, хотя и больше 1, но имеет тот же порядок величины, что и 1.

Из соображений размерности получим Из соображений размерности получим (1) При численном решении для воздуха коэффициент в этой зависимости равен С = 1.033 (газ двухатомных молекул). Для скорости фронта ударной волны получаем (2) (она, естественно, убывает со временем).

Граничные условия на фронте ударной волны На фронте ударной волны непрерывна плотность потока газа, давление и плотность потока энергии. Запишем эти три условия в системе координат, где фронт волны покоится (1 – снаружи фронта, 2 – внутри;  - внутренняя энергия единицы массы): (3)

Для двухатомного газа (воздух) внутренняя энергия равна Для двухатомного газа (воздух) внутренняя энергия равна (здесь мы воспользовались уравнением Клапейрона для идеального газа). Таким образом, систему (3) можно переписать в виде (4)

Исключая давление из системы (4), получим Исключая давление из системы (4), получим Исключая отношение скоростей из этой системы, находим уравнение для отношения плотностей: Сильная ударная волна сжимает воздух в 6 раз!

Определим из (4) скорость газа сразу за фронтом в лабораторной системе координат. Переход к ней осуществляем в соответствии со скоростью фронта (2): Определим из (4) скорость газа сразу за фронтом в лабораторной системе координат. Переход к ней осуществляем в соответствии со скоростью фронта (2): (5) Разумеется скорость частиц газа за фронтом в лабораторной системе меньше скорости фронта: частицы газа не могут обогнать фронт.

Определим также давление сразу за фронтом ударной волны, исходя из системы (4): Определим также давление сразу за фронтом ударной волны, исходя из системы (4): (5) Далее обратимся к решению уравнений движения для внутренней области взрыва. Методика решения основана на введении автомодельной переменной, что делается в большинстве задач гидродинамики с малым числом параметров.

Автомодельные переменные Введем автомодельную переменную , где радиус фронта ударной волны определяется соотношением (1) (с коэффициентом пропорциональности, равным единице). Плотность воздуха внутри области взрыва ищем в виде Скорость воздуха внутри области взрыва в соответствии с (2) ищем в виде , а давление -

Баланс энергии Полная энергия газа внутри ограниченной ударной волной сферы постоянна. Вследствие автомодельности будет постоянна и полная энергия внутри любой сферы меньшего радиуса r < R, которая расширяется со временем по тому же закону, что и определяемая формулой (2): Радиальная скорость перемещения точек этой сферы в соответствии с (2) равна

За время dt через единицу сферической поверхности с этим радиусом проходит наружу энергия газа, равная (см. (3)) За время dt через единицу сферической поверхности с этим радиусом проходит наружу энергия газа, равная (см. (3)) (7) Отметим, что здесь фигурирует скорость газа V в лабораторной системе координат. Поток энергии включает и слагаемое с давлением, соответствующее совершаемой работе, так как давление и плотность изменяются при переходе через границу сферы радиуса r, как это было ранее для фронта ударной волны (см. (3)).

С другой стороны, за это же время указанная поверхность расширяется на расстояние С другой стороны, за это же время указанная поверхность расширяется на расстояние Энергия движущегося газа, заключенная в этой области, равна (8) Она не содержит члена с работой, в отличие от (7). Приравнивая (7) и (8) друг другу, находим уравнение баланса энергии:

Подставляя автомодельные зависимости, приведенные выше, перепишем это уравнение в виде Отсюда находим (9)

На малых расстояниях r << R плотность (при фиксированном времени) стремится к нулю, а давление конечно (мы увидим это ниже из решения). Следовательно, величина На малых расстояниях r << R плотность (при фиксированном времени) стремится к нулю, а давление конечно (мы увидим это ниже из решения). Следовательно, величина Из (9) тогда следует, что Для скорости газа получим (10)

Если Если то согласно (5) скорость газа в лабораторной системе координат равна Видно, что расхождение между этой скоростью газа и скоростью газа в окрестности точки взрыва невелико. Это оправдывает сделанное выше приближение для скорости газа.

Уравнение непрерывности Обратимся теперь к уравнению непрерывности (в сферической системе координат) Подставляя выражение (10) для скорости газа и автомодельное выражение для плотности перепишем это уравнение в виде

Отсюда Отсюда (константа пропорциональности выбрана так, чтобы плотность газа на внутренней поверхности фронта ударной волны равнялась 2 ). Таким образом, плотность газа внутри области взрыва равна

Видно, что ввиду очень резкой зависимости от расстояния r практически внутри области взрыва вещество газа отсутствует, а весь газ концентрируется вблизи области фронта ударной волны. Резкая функция G(x) = x15/2 представлена на рисунке.

Давление в области взрыва Давление воздуха выражалось через безразмерную автомодельную переменную соотношением На фронте ударной волны давление согласно (5) равно

Для определения давления воспользуемся уравнением Навье-Стокса, записав его в сферической системе координат (в отсутствие вязкости ввиду больших чисел Рейнольдса): Для определения давления воспользуемся уравнением Навье-Стокса, записав его в сферической системе координат (в отсутствие вязкости ввиду больших чисел Рейнольдса): (11) Подставляем в это уравнение величины, выраженные через автомодельную переменную : Тогда все слагаемые в (11) содержат r/t2

Получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка Получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка Его решение при условии имеет вид Отношение давления внутри области взрыва к давлению на фронте ударной волны равно

Фаза разрежения внутри области взрыва Перед фронтом ударной волны давление в воздухе равно атмосферному давлению. С приходом фронта ударной волны в данную точку пространства давление резко (скачком) увеличивается и достигает максимального, затем, по мере удаления фронта волны, давление постепенно снижается и через некоторый промежуток времени становится равным атмосферному. Образовавшийся слой сжатого воздуха называют фазой сжатия. Ударная волна как поршень тянет за собой воздух. Сзади образуется зона разрежения, давление становится ниже атмосферного и воздух начинает двигаться в направлении, противоположном распространению ударной волны, то есть к центру взрыва. Зона разрежения обсуждается детально в следующей лекции.

Спасибо за внимание