🗊Презентация Статика и динамика технологических объектов управления

СТАТИКА И ДИНАМИКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Основные понятия математического моделирования Математическая модель - совокупность уравнений и граничных условий, описывающих зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах.

Группы математических моделей установившегося режима (модель статики) отражает функциональную связь между входными и выходными величинами в установившемся состоянии; переходного режима (модель динамики) описывает изменение выходной величины во времени в зависимости от изменения входной величины; физические модели(электрические, гидравлические и др,).

Модели динамики переходный режим - режим функционирования системы описываемый дифференциальным или интегрально-дифференциальным уравнением; установившийся режим - характеризуется независимостью входных и выходных координат от времени. Режим описывается дифференциальными уравнениями нулевого порядка, т. е. алгебраическими уравнениями, получаемыми из уравнений динамики приравниванием к нулю всех производных по времени.

Математические модели установившегося и переходного режимов и методы их линеаризации Как уравнения статики, так и уравнения динамики могут быть линейными или нелинейными, в последнем случае они подлежат линеаризации т.е. математическому преобразованию в линейное уравнение.

Линеаризация уравнений динамики В общем случае при наличии одной выходной (у) и нескольких входных величин (х) динамика элемента (системы) описывается дифференциальным уравнением (для двух x1 и x2) где F —некоторая нелинейная функция; n, m, l —целые натуральные числа, определяющие наивысший порядок входящих в уравнение производных входной и выходной величин по времени. Для реальных систем порядок дифференциального уравнения n > m и n > l. Линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений осуществляют методом малых отклонений. При этом вместо абсолютного значения переменных в уравнении используют их отклонения от начального значения В результате уравнение становится линейным и при одной входной величине ∆x может быть записано в виде an...ao, bm...bo - постоянные коэффициенты.

Линеаризация уравнений статики

Метод секущей

Аналитический метод построения математической модели Дифференциальные уравнения простых элементов можно составить, используя закономерности протекающих в них физических явлений. Такими закономерностями могут быть: закон сохранения вещества (объект регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объект регулирования температуры), законы электротехники и т. д. Уравнения статических и переходных режимов составляют на базе уравнений балансов вещества или энергии. При составлении дифференциальных уравнений сложного объекта (или системы) он должен быть расчленен на простейшие элементы, соединенные последовательно, для каждого из которых составляют математические модели статики и динамики. Дифференциальное уравнение объекта или системы в целом получают путем исключения промежуточных величин. Как указывалось ранее, в большинстве случаев уравнения элементов нелинейные, и потому дифференциальное уравнение системы, как правило, нелинейное и подлежит линеаризации. В целях упрощения задачи при использовании аналитического метода построения математической модели допускают определенные упрощения.

Экспериментальные методы построения математической модели

Определение статических характеристик (активный метод)

Процедура определения статических характеристик объекта:

3.Обработка результатов эксперимента. Полученные зависимости у=f(x1 х2,...) могут быть искажены помехой и потому подлежат сглаживанию одним из известных методов (обычно скользящего среднего или четвертых разностей). 3.Обработка результатов эксперимента. Полученные зависимости у=f(x1 х2,...) могут быть искажены помехой и потому подлежат сглаживанию одним из известных методов (обычно скользящего среднего или четвертых разностей). Идея метода четвертых разностей состоит в последо­вательном вычислении поправки для каждой экспериментальной точки последовательно. Полученная статическая характеристика, как правило, не линейна и потому желательна ее линеаризация одним из рассмотренных ранее методов с целью аппроксимации простейшей зависимостью вида у = а + bх

Определение статических характеристик (пассивный метод). Стохастические (случайные) изменения выходных величин нормально функционирующего объекта автоматизации обусловлены как случайными изменениями входных величин, так и процессами, происходящими в самом объекте, причем последующие значения случайно изменяющихся физических величин точно предсказать невозможно. С математической точки зрения такие воздействия и процессы, ими вызываемые, рассматривают как случайные функции (СФ) времени. Значение их статических характеристик позволяет определить динамические характеристики объекта автоматизации и успешно решить задачу синтеза САР. При этом обычно достаточно использования теории СФ, характеристиками случайного процесса (СП) которой служат математическое ожидание (МО) и корреляционная функция (КФ).

Математическое ожидание СП x(t) в момент времени ti есть среднее арифметическое значение для N реализаций СП: где i — номер реализации.

Дисперсия

Автокорреляционная функция

Рекомендации по выбору метода построения модели объекта