🗊Презентация Теория возмущений

Теория возмущений

7.1 Общие положения Ранее были изложены основы теории излучения поля. Теперь рассмотрим методы, с помощью которых можно получить физические результаты. Поведение системы описывается волновой функцией или амплитудой состояния , удовлетворяющей волновому уравнению Здесь — полный гамильтониан, содержащий вклады от поля излучения , электронов , и их взаимодействия с электромагнитным полем . Внешнее поле или кулоновское взаимодействие между частицами включается в , либо в член, описывающий взаимодействие . Пусть — энергия невзаимодействующих поля излучения и электронов.

7.1 Общие положения Если рассмотреть представление взаимодействия, то Обозначим через собственное состояние оператора , где индекс включает все квантовые числа, описывающие систему фотонов и электронов, не взаимодействующих между собой. Пусть энергия системы в состоянии будет . Точное решение уравнения (7.1) можно разложить по функциям : есть вероятность того, что система в момент времени находится в невозмущенном состоянии . Если подставить это разложение в (7.1), умножить на и проинтегрировать по всем переменным, от которых зависит , то можно получить

7.1 Общие положения где — матричный элемент для перехода . Так как оператор диагонален, то действуя на функцию , умножает ее на , поэтому Величина не зависит от и равна матричному элементу не зависящего от времени оператора .

7.1 Общие положения Матричные элементы отличны от нуля, если числа фотонов в состояниях отличаются друг от друга на единицу. Если уравнение (7.3) выписать явно, то оно представит собой систему бесконечного числа уравнений —по одному на каждый стоящий в левой части коэффициент разложения . Далее можно воспользоваться теорией возмущения, рассматривая взаимодействие с излучением как малую величину.

7.2 Вероятность перехода Большинство задач в теории излучения связано с вычислением вероятностей перехода. Пусть в момент времени система находится в определенном невозмущенном состоянии с индексом 0: Под действием возмущения оно будет изменяться с течением времени, и некоторые из станут отличными от нуля. В первом приближении будут отличны от нуля такие коэффициенты , которые относятся к состояниям с числом фотонов, отличным от исходного на единицу.

7.2 Вероятность перехода Таким образом, в первом приближении Далее, в качестве в (7.5а) можно подставить выражение (7.4): . Это верно лишь для сравнительно малых времен , пока еще не изменилось заметно, но этого достаточно для вычисления вероятности перехода за единицу времени. Тогда решение, удовлетворяющее начальному условию (7.4), будет

7.2 Вероятность перехода Вероятность обнаружить систему в момент в состоянии , если, при она была в невозмущенном состоянии 0, равна Далее можно пренебречь очень короткими промежутками времени (порядка одного периода ). Несмотря на предположение о достаточной малости по сравнению с временем жизни исходного состояния 0 (за время величина не изменяется заметно), в равенстве (7.7) возможно перейти к пределу . Это означает, что или . При множитель, содержащий , есть умноженное на представление -функции. Поэтому можно получить

7.2 Вероятность перехода Левая часть равенства (7.8) есть вероятность перехода за единицу времени из состояния 0 в состояние . Наличие -функции означает, что энергия сохраняется и переходы происходят лишь между состояниями с равной невозмущенной энергией. Формула (7.8) с -функцией справа имеет определенный смысл, лишь тогда, когда можно интегрировать по или , т.е. если одно из двух состояний принадлежит непрерывному спектру. Далее можно умножить (7.8) на число состояний с энергией в интервале и проинтегрировать по .

7.2 Вероятность перехода Последнее дает искомую вероятность перехода за единицу времени в первом приближении. Эта формула будет использована при изучении испускания и поглощения света. Рассмотрим рассеяние фотона электроном. Здесь должны измениться два числа заполнения : первичный фотон должен поглотиться, а вторичный (рассеянный) испуститься. В (7.9) допускается изменение лишь одного „фотонного" числа заполнения. Чтобы описать этот процесс, необходимо перейти к следующему приближению, допуская появление двух сомножителей . Напишем вместо (7.5)

7.2 Вероятность перехода Состояния отличаются от исходного на один фотон, а от — также на один фотон. Таким образом, отличается от на два фотона. Нужно рассматривать лишь такие состояния , которые могут осуществить указанную связь между начальным и конечным состояниями . Такие состояния называются промежуточными или виртуальными. По аналогии с предыдущим случаем решается (7.10) с подстановкой .

7.2 Вероятность перехода Если заменить составным матричным элементом то из уравнения (7.12) можно получить вероятность перехода за единицу времени Этот способ можно продолжить, рассматривая все более сложные радиационные процессы, требующие еще большего числа шагов с большим количеством промежуточных, состояний.

Радиационные процессы в первом приближении

8.1 Общие положения Атом и поле излучения образуют две квантовомеханические системы с энергией взаимодействия . Это взаимодействие (возмущение) является причиной следующих переходов невозмущенной системы (атом + излучение): а) перехода атома из одного квантового состояния в другое б) испускания или поглощения световых квантов. Поле излучения имеет непрерывный спектр. Если излучается или поглощается световой квант с импульсом , его можно приписать на выбор какому-нибудь одному из очень большого числа радиационных осцилляторов: имеющих одну и ту же частоту, одно и то же направление распространения и одинаковую поляризацию. Если пренебречь эффектами, связанными с шириной уровня, то энергия невозмущенной системы сохраняется во всех переходах, в которых испускаются или поглощаются световые кванты.

8.1 Общие положения Взаимодействие между атомом и полем излучения может вызвать радиационные переходы, когда в начальном состоянии нет световых квантов. Если атом возбужден в начальном состоянии, то при переходе в конечное состояние будет излучен световой квант. Такой процесс представляет собой спонтанное излучение света. В первом приближении испускается или поглощается лишь один световой квант. Такие переходы происходят прямо без промежуточных состояний. Вероятности переходов даются матричными элементами энергии взаимодействия для прямого перехода из начального состояния в конечное. В теории излучения и поглощения можно ограничиться нерелятивистским приближением, поэтому будем использовать следующее взаимодействие: Второй член, пропорциональный , приводит к переходам, в которых участвуют два кванта, поэтому этим членом можно пренебречь.

8.1 Общие положения Матричные элементы оператора (8.2) для излучения или поглощения кванта с импульсом даются формулами: где — компонента импульса электрона в направлении поляризации фотона ; - вектор направления распространения фотона. Для простоты ограничимся случаем одного электрона.

8.2 Излучение Вычислим сначала вероятность излучения света. Предположим, что имеются два невырожденных атомных состояния c энергиями . Согласно закону сохранения энергии, могут излучаться лишь световые кванты с энергией Уравнение (8.3) -- условие частот Бора. Вероятность перехода за единицу времени, согласно (7.9), будет равна где -- число конечных состояний с энергиями между и . В качестве подставляется число радиационных осцилляторов . Энергия конечного состояния равна , и потому , . Подставляя уравнение (8.1) и выражение для матричных элементов (8.2’) в формулу (8.4), можно получить:

8.2 Излучение Вероятность излучения светового кванта за единицу времени: Можно предположить, что длина волны излученного света велика по сравнению с размерами атома. Если обозначить энергию атома через , то длина волны составит по порядку величины С другой стороны, размеры атома примерно равны Поскольку , то велико по сравнению с . Поэтому множитель в формуле (8.5) можно опустить, так как он почти постоянен в области, где или отличны от нуля. Вводя обозначение для угла между направлением поляризации и вектором v, можно найти для вероятности перехода

8.2 Излучение где , причем — матричный элемент -компоненты скорости , соответствующий переходу . Так как в квантовой теории получаем Согласно формуле (8.9) вероятность излучения состоит из двух частей. Первая часть не зависит от интенсивности радиации, имевшейся до излучения. Она соответствует спонтанному излучению и отлична от нуля, даже если . Вторая часть пропорциональна интенсивности радиации частоты , имевшейся до процесса излучения. Она приводит к вынужденному излучению.

8.2 Излучение Полную интенсивность излучения за единицу времени можно получить из формулы (8.9), если умножить ее на и проинтегрировать по всем углам. Суммируя сначала по направлениям поляризации, можно получить вместо , где — угол между вектором (положение электрона по отношению к ядру) и направлением распространения . Для спонтанного излучения: (8.10) дает интенсивность излучения за единицу времени в направлении . Полная интенсивность получается интегрированием (8.10) по всем углам Формулы (8.10) и (8.11) почти тождественны с формулами классической теории. В последних следует заменить среднее по времени от координаты осциллятора матричным элементом той же величины, соответствующим переходу

8.2 Излучение Порядок величины вероятности перехода за единицу времени составит, согласно формулам (8.9), (8.6), (8.7) (полагая ), т. е. порядка для оптической области, для рентгеновских лучей и для -лучей. Результат не зависит от массы излучающей частицы, однако зависит от заряда.

8.3 Поглощение Аналогично можно вычислить вероятность поглощения светового кванта. Рассмотрим пучок света интенсивности , приходящий из заданного направления внутри элемента телесного угла . Поглощаемый световой квант может быть у любого радиационного осциллятора из интервала частот . Если в начальном состоянии среднее число квантов на осциллятор равно то интенсивность дается формулой Суммирование по всем таким радиационным осцилляторам дает для вероятности перехода за единицу времени снова формулу (8.4), где — уже число начальных состояний.

8.3 Поглощение Аналогично можно найти вероятность поглощения. Коэффициент пропорциональности в точности такой же, как и в случае испускания. Поэтому отношение обеих вероятностей равно На том же основании, что и в случае излучения, можно опустить множитель в формуле (8.14). Усредняя по всем ориентациям атома (т. е. по направлениям , ) по отношению к падающему пучку и вводя вместо первичную интенсивность по формуле (8.13), найдем энергию, поглощенную за единицу времени:

9.1 Теория естественной ширины линии. Основные понятия При классическом рассмотрении процессов испускания и поглощения света линия, излученная осциллятором, не являлась бесконечно узкой. Она имела естественную ширину соответствующую распределению интенсивности где — частота осциллятора. Своим происхождением эта естественная ширина обязана силе самодействие электрона.

9.2 Атом с двумя состояниями Рассмотрим случай, когда атом может находиться только в двух состояниях . Учтем лишь те состояния, в которые возможны прямые переходы из начального состояния (первое приближение по ). Предположим, что в момент атом возбужден и световые кванты отсутствуют. Тогда можно ограничиться рассмотрением таких состояний, из которых атом перескакивает в низшее состояние, испуская один световой квант с частотой, примерно равной . Обозначая амплитуды вероятности через и найдем Начальными условиями будут Попытаемся решить уравнения (9.2), полагая

9.2 Атом с двумя состояниями т. е. предполагая, что вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии убывает экспоненциально со временем жизни . Если подставить выражение (9.4) в (9.2б), то можно получить дифференциальное уравнение, решение которого можно подставить в уравнение (9.2а), и провести дополнительные вычисления, в результате которых можно получить действительную часть Согласно (8.4), как раз равна полной вероятности спонтанного излучения за единицу времени.

9.2 Атом с двумя состояниями Распределение интенсивности излученной линии дается функцией вероятности конечного состояния . По истечении промежутка времени , когда атом скорее всего перейдет вниз, вероятность испускания кванта с энергией будет: или, интегрируя по всем направлениям распространения, согласно (9.5), получаем Полная интенсивность есть . Формула (9.7) тождественна классической, и означает вероятность перехода за единицу времени.

9.2 Атом с двумя состояниями Поэтому в квантовой теории спектральная линия имеет то же распределение интенсивности, что и в классической теории. Ширина линии в точке, где интенсивность достигает половины своего максимального значения, равна полной вероятности перехода за единицу времени. Максимум интенсивности падает на частоту , даваемую разностью энергий двух состояний атома.

9.2 Атом с двумя состояниями Связь между полушириной и вероятностью перехода можно получить из соотношения неопределенностей для энергии и времени: которое утверждает, что энергия системы известна лишь с точностью , если на ее измерение затрачено время . В данном случае возбужденное состояние имеет время жизни благодаря отличию от нуля вероятности радиационного перехода. Поэтому энергия возбужденного состояния определена лишь в пределах интервала , а это означает, что уровень энергии имеет ширину . Тогда частота излученной линии будет иметь такую же ширину .

9.3 Несколько атомных состояний Случай, когда атом имеет несколько состояний более сложен. Если обозначать атомные уровни в порядке возрастания их энергий через , то можно, согласно формуле (9.6), приписать каждому уровню некоторую ширину, даваемую суммой вероятностей всех переходов из на все низшие уровни где — вероятность перехода . Ширина некоторой линии , дается суммой ширин двух уровней и Распределение интенсивности снова классическое с .

9.3 Несколько атомных состояний Однако, в квантовой теории может получиться, что даже слабая линия довольно широка. Рассмотрим, например, случай с тремя уровнями Вероятности всех переходов из высшего уровня малы, а потому — узкий уровень. Из к основному уровню (всегда резкому) ведет сильная линия, поэтому уровень —широкий. Согласно (9.9), линия должна также быть широкой, хотя вероятность перехода очень мала. Линия , с другой стороны, узкая, поскольку она соединяет два узких уровня.

9.4 Поглощение Форма линии поглощения должна совпадать с формой линии испускания, если падающий пучок света имеет постоянную интенсивность в области ширины линии. Это следует из общих соображений о равновесии (закон Кирхгофа). Пусть обозначает интенсивность первичного пучка. Тогда за единицу времени в переходе будет поглощена энергия из интервала от до , равная где — вероятность спонтанного излучения при переходе .

9.4 Поглощение Рассматривая слой толщины , содержащий атомов на в поглощающем состоянии , можно определить коэффициент поглощения на 1 см первичного светового пучка : Если частоты сильно удалены от максимума, то и коэффициент поглощения убывает как квадрат разности частот . (Эта разность связана с длиной волны соотношением ). В этом случае отношение поглощенной интенсивности к первичной определяется соотношением (Здесь длина волны равна .)

9.5 Другие причины уширения линий Помимо затухания, связанного с испусканием излучения, имеется несколько механизмов, которые приводят к уширению линий. а) В газе при температуре атомы (массы ) движутся со скоростями, распределенными по закону Максвелла: . Если наблюдается свет, испущенный в -направлении, то линия будет смещена вследствие эффекта Допплера на величину: Усредняя, получаем в силу этого широкую линию с распределением интенсивности и с шириной на половине максимума

9.5 Другие причины уширения линий Допплеровская ширина намного больше естественной ширины . Однако распределение интенсивности экспоненциальное, а потому быстро убывающее с ростом расстояния от максимума в отличие от естественной ширины, которая имеет очень длинный хвост, убывающий лишь как . Поэтому интенсивность, наблюдаемая на большом расстоянии от максимума (т. е. если ), соответствует естественной ширине.

9.5 Другие причины уширения линий б) В газе конечной плотности возбужденный атом испытывает столкновения с соседними атомами. Эти столкновения могут привести к переходу на основной уровень. Действие таких столкновений на ширину линии можно описать следующим образом: если число эффективных столкновений за 1 с есть , то время жизни возбужденного состояния укорачивается. Общее число переходов за 1 с (радиационные переходы + переходы, обусловленные столкновениями) равно теперь . Поэтому ширина уровня будет равна Испущенная линия имеет такое же распределение интенсивности, как и естественная линия (9.10), с той лишь разницей, что теперь следует заменить на . При очень малых плотностях эффект уширения, вызванный столкновениями, становится малым.

Заключение Изложенные приложения теории возмущения к различным процессам поглощения и излучения основаны на разложении в ряд по степеням электрического заряда , играющего роль константы связи между заряженными частицами и полем излучения. Рассмотрены члены первого порядка по Такой подход позволил получить соответствие между классической и квантовой теорией. Учет членов разложения более высоких порядков приводит к возникновению радиационных поправок.