🗊Презентация Теплопроводность. Нестационарная теплопроводность. (Тема 4. Лекции 16,17)

Тема 4. Теплопроводность Лекции 16, 17

§ 4. Нестационарная теплопроводность Процесс теплопроводности в неограниченной пластине описывается уравнением: , – одномерное дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности при не зависящем от температуры  и отсутствии внутренних источников теплоты. В качестве начальных условий принимаем равномерное распределение температуры в начальный момент времени. В качестве граничных условий рассмотрим граничные условия III рода.

Для решения дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных: Для решения дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных: T (x, t) = Ф (x)  П (t) . , где С = С1  С2 , D = С1  С3 . Константы C, D и k определим из краевых условий.

Принимаем допущения: Принимаем допущения: 1) считаем, что нагрев (или охлаждение) пластины происходит из-за конвективной теплоотдачи от окружающей среды с постоянной температурой Т0; 2) рассматриваем осесимметричную задачу, то есть граничные условия на обеих поверхностях пластины считаем одинаковыми. Функция sin (kx) является нечетной, следовательно, для симметричной задачи константа D = 0.

Решение принимает вид: Решение принимает вид: . Краевые условия: Т (x, 0) = TН , . Введем новую переменную – избыточную температуру:  (x, t) = T0 – T (x, t) . Для этой переменной формулировка задачи имеет вид: .

Краевые условия: Краевые условия:  (x, 0) = T0 – TН = Н , . Знак в правой части граничного условия изменился в связи с тем, что . Решение имеет тот же вид, так как уравнение теплопроводности имеет тот же вид: .

Подставим решение в граничное условие, например, при x=: Подставим решение в граничное условие, например, при x=:   . Обозначим произведение k   =  и назовем эту величину характеристическим числом. – критерий Био.

Имеем трансцендентное характеристическое уравнение, которое можно решить графически: Имеем трансцендентное характеристическое уравнение, которое можно решить графически: .

Характеристическое уравнение имеет бесчисленное множество корней. Характеристическое уравнение имеет бесчисленное множество корней. В связи с линейностью дифференциального уравнения теплопроводности его общее решение является суммой его частных решений: . Стоящая в показателе экспоненты величина – критерий Фурье, безразмерное время. Неизвестные величины Cn определим из начального условия. При Fo=0 .

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по х в пределах толщины пластины. Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по х в пределах толщины пластины. Меняя порядок интегрирования и суммирования (ввиду линейности этих операций) получим выражение: , поскольку и являются ортогональными функциями, как это следует из характеристического уравнения. То есть их произведение обращается в нуль, кроме случая, когда m = n.

Учитывая, что , получим: Учитывая, что , получим: . Учтем также, что и sin2x = 2sinxcosx. Тогда .

Итак, получаем Итак, получаем , и решение принимает окончательный вид: , где – безразмерная координата. Таким образом, безразмерная избыточная температура , где Bi – параметр задачи, Fo и X – безразмерные независимые переменные.

Рассмотрим, к чему сводится полученное решение при Bi  0. Рассмотрим, к чему сводится полученное решение при Bi  0. При этом угловой коэффициент 1/Bi прямой на рисунке графического решения характеристического уравнения (слайд 9)   и прямая совпадает с осью ординат. n принимает следующий ряд значений: 0, , 2, 3… Все коэффициенты Сn, кроме первого, обращаются в нуль, а для первого получается неопределенность типа нуль, деленный на нуль, которую необходимо раскрыть. Обозначим через  Сn . Раскроем с помощью предельного перехода неопределенность для D1 при 1 = 0: .

Решение для рассматриваемого случая сводится к следующему: Решение для рассматриваемого случая сводится к следующему: . Определим конкретный вид связи между 1 и Bi. При 1  0 sin 11, tg 11, ctg 11/1. Следовательно, характеристическое уравнение принимает вид: 1/1 = 1/Bi  , а , так как 0  Х  1. Окончательно получим:  = exp(Bi  Fo) .

Рассмотрим нестационарную теплопроводность при граничных условиях I рода для неограниченной пластины. Считаем, что на границах пластины происходит конвективная теплоотдача. Рассмотрим нестационарную теплопроводность при граничных условиях I рода для неограниченной пластины. Считаем, что на границах пластины происходит конвективная теплоотдача. При конечных значениях величины полутолщины пластины  и коэффициента теплопроводности  случай Bi  означает  . Из-за интенсивной теплоотдачи разность температуры между средой и поверхностью объекта T0 – TW = q /   0 (так как плотность теплового потока q – величина постоянная). Формулировка задачи: ; начальное условие:  (x, 0) = Н , граничное условие:  (,t) = 0 , где  = TW – Т – текущая избыточная температура, Н = TW – ТН – начальная избыточная температура.

Считаем, что TW не изменяется: Считаем, что TW не изменяется: Характеристическое уравнение при Bi  принимает вид ctgn = 0, то есть прямая на рисунке графического решения характеристического уравнения совпадает с осью абсцисс. Корни характеристического уравнения составляют следующий ряд значений: , , … При этом sinn = 1 при четных n, т.е. sin n = (1)n+1 , а cos n = 0.

Выражение для безразмерной избыточной температуры Выражение для безразмерной избыточной температуры (решение задачи нестационарной теплопроводности при граничных условиях III рода, см. слайд 13) принимает вид: . В данном случае относительная избыточная температура определяется как функция числа Фурье и безразмерной координаты  = f (Fo, X). Число Био не является параметром задачи, так как лимитирующим звеном в процессе теплообмена является внутренний теплообмен.

§ 5. Регулярный тепловой режим В переходных процессах нестационарной теплопроводности, когда температура в каждой точке тела изменяется от одного установившегося значения до другого, можно выделить три характерных режима: неупорядоченный, при котором начальное распределение температуры оказывает заметное влияние на развитие процесса; регулярный, когда влияние начального распределения температуры исчезает; стационарный, при котором температура во всех точках тела становится равной температуре окружающей среды.

Ряд решения задачи нестационарной теплопроводности из § 17 быстро сходится. Ряд решения задачи нестационарной теплопроводности из § 17 быстро сходится. Во-первых, каждое следующее характеристическое число больше предыдущего, k > k+1, и n стоит в квадрате в отрицательном показателе экспоненты. Во-вторых, поскольку критерий Фурье тоже стоит в отрицательном показателе экспоненты, ряд сходится тем быстрее, чем больше времени прошло с начала процесса. Практически уже при Fo  0,3 сумма ряда равна его первому слагаемому: , где 1 = f (Bi), 0 ≤ 1 ≤ .

Обозначим Обозначим и прологарифмируем последнее выражение: .

Для граничных условий I рода при Fo  0,3 1 = . Для граничных условий I рода при Fo  0,3 1 = . Величина называется темпом нагрева (охлаждения) при граничных условиях I рода. Итак, в этом случае темп нагрева пропорционален коэффициенту температуропроводности: m∞ = k  a , где – коэффициент формы для плоской пластины. Таким образом, при граничных условиях I рода темп нагрева не зависит от критерия Био, поскольку нагрев (охлаждение) тела лимитируется только внутренним теплообменом.

Закономерности регулярного теплового режима используют для экспериментального определения теплофизических свойств различных материалов и коэффициента теплоотдачи. Закономерности регулярного теплового режима используют для экспериментального определения теплофизических свойств различных материалов и коэффициента теплоотдачи. Для этого необходимо снять кривую изменения температуры в какой-либо точке тела и, представив ее в координатах ln–t, найти тангенс угла наклона прямолинейного отрезка зависимости к оси времени. Теперь, зная форму и размер тела, можно найти . Тогда коэффициент теплопроводности  = a    c . Затем, уменьшив интенсивность внешнего теплопереноса, надо организовать теплообмен с граничными условиями III рода, и найти m, зависящий в данном случае от 1 и Bi. Наконец, находят коэффициент теплоотдачи: .