Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Нажмите для полного просмотра!

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №2

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №3

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №4

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №5

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №6

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №7

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №8

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №9

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №10

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №11

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №12

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №13

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №14

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №15

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №16

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №17

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №18

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №19

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №20

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №21

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №22

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №23

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №24

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №25

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №26

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции, слайд №27

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Доклад-сообщение содержит 27 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ЛЕКЦИЯ 5.1 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Слайд 2

Описание слайда:

Уравнения движения твердого тела Для описания твердого тела (как системы частиц) имеются два уравнения – уравнение движения центра масс и уравнение моментов: Здесь vС – скорость центра масс, L – момент импульса системы, Fвнеш – равнодействующая всех внешних сил, Mвнеш – момент равнодействующей всех внешних сил (или сумма моментов всех внешних сил).

Слайд 3

Описание слайда:

Связь момента импульса твердого тела с угловой скоростью вращения Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью . Найдем проекцию на ось Z момента импульса тела относительно произвольной точки O этой оси. Для этого мысленно разделим все тело на большое число частиц массами mi. Положение каждой из частиц в пространстве задается радиусом-вектором ri, проведенным из точки O. Траекторией каждой точки является окружность радиусом Ri = ricos с центром на оси вращения; при этом скорость частицы при движении по окружности vi.

Слайд 4

Описание слайда:

Связь момента импульса твердого тела с угловой скоростью вращения По определению, момент импульса Li i-й частицы относительно точки O равен: Проекция на ось Z вектора Li: Тогда

Слайд 5

Описание слайда:

Момент инерции твердого тела Моментом инерции твердого тела относительно оси Z называется величина: Здесь mi – масса i-й частицы тела; Ri – расстояние от этой частицы до оси Z. Поскольку любое реальное твердое тело плотности  и объемом V есть совокупность бесконечно большого числа частиц, то

Слайд 6

Описание слайда:

Физический смысл и свойства момента инерции Момент инерции I характеризует распределение массы тела по его объему. Эта величина представляет собой количественную меру инертности твердого тела по отношению к любым попыткам изменить угловую скорость твердого тела. Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции его частей, рассчитанных относительно той же оси.

Слайд 7

Описание слайда:

Моменты инерции некоторых симметричных твердых тел

Слайд 8

Описание слайда:

Связь между угловой скоростью вращения твердого тела и моментом импульса Таким образом, с учетом определения момента инерции, проекция на ось Z момента импульса тела равна: Проекция момента импульса тела Lz на ось Z не зависит от положения точки O на этой оси (поскольку I и z также не зависят от положения точки O).

Слайд 9

Описание слайда:

Связь между угловой скоростью вращения твердого тела и моментом импульса Если твердое тело вращается вокруг оси Z, являющейся осью симметрии этого тела, или осью, перпендикулярной оси симметрии, последнее выражение можно записать в векторном виде: В остальных случаях L  I.

Слайд 10

Описание слайда:

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси Z. Обозначим через L момент импульса тела относительно произвольной точки O оси Z, а через M – сумму моментов всех приложенных к нему внешних сил. Для твердого тела как системы материальных точек справедливо уравнение моментов: Перепишем его в проекции на ось Z:

Слайд 11

Описание слайда:

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Поскольку, как было показано выше, проекция на ось Z момента импульса тела равна Lz = Iz, то подставляя это выражение в уравнение моментов, получим уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси: Здесь I – момент инерции твердого тела относительно оси Z, z = dz/dt – проекция на ось Z вектора углового ускорения тела, Mz – проекция на ось Z момента всех внешних сил.

Слайд 12

Описание слайда:

Пример использования уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Пример. Однородный цилиндр массы m и радиуса R может вращаться с трением вокруг неподвижной оси Z, совпадающей с его осью симметрии. На цилиндр намотана тонкая нерастяжимая невесомая нить, за которую начинают тянуть с постоянной силой F. Найти угловые скорость и ускорение цилиндра, если во время вращения на цилиндр действует постоянный момент силы трения Mтр.

Слайд 13

Описание слайда:

Пример использования уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Направим ось Z от нас в плоскость чертежа и запишем уравнение динамики вращения твердого тела: Тогда угловое ускорение цилиндра: Угловая скорость цилиндра:

Слайд 14

Описание слайда:

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Слайд 15

Описание слайда:

Связь между моментами инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проводит через центр масс Мысленно разделим тело на частицы массами mi; к каждой частице проведем радиусы-векторы ri и ri, перпендикулярные осям ZC и Z. Учтем в дальнейшем, что ri = ri + b. Момент инерции относительно оси Z:

Слайд 16

Описание слайда:

Связь между моментами инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проводит через центр масс Поскольку центр масс C лежит на оси ZC тела, то, очевидно, rС = 0. Тогда: Это равенство выражает теорема Гюйгенса – Штейнера о параллельном переносе оси момента инерции: момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния b между осями.

Слайд 17

Описание слайда:

Примеры использования теоремы Гюйгенса - Штейнера Пример 1. Зная момент инерции тонкого стержня массы m и длины l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (центр масс) I = (1/12)ml2, найдем момент инерции стержня относительно параллельной оси, проходящей через один из концов стержня:

Слайд 18

Описание слайда:

Примеры использования теоремы Гюйгенса - Штейнера Пример 2. Зная момент инерции однородного шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр (центр масс) I = (2/5)mR2, найдем момент инерции шара относительно оси, касательной к поверхности шара:

Слайд 19

Описание слайда:

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Кинетическая энергия и работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Слайд 20

Описание слайда:

Кинетическая энергия твердого тела Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью . Разделим мысленно тело на частицы массами mi. Траекторией каждой из частиц является окружность с центром на оси вращения, лежащая в перпендикулярной к оси вращения плоскости. Обозначим скорость каждой из частиц vi = Ri. Кинетическая энергия  твердого тела равна сумме кинетических энергий составляющих его частиц:

Слайд 21

Описание слайда:

Кинетическая энергия твердого тела Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: Здесь I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Слайд 22

Описание слайда:

Работа внешней силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Пусть на вращающееся вокруг неподвижной оси Z твердое тело действует внешняя сила F, проекция на ось Z момента M которой равна Mz. Найдем выражение для работы A силы, снова рассматривая твердое тело как систему частиц. По теореме о кинетической энергии элементарная работа A всех сил, действующих на частицы, равна бесконечно малому приращению кинетической энергии d системы: Примем без доказательства, что элементарная работа всех внутренних сил равна нулю.

Слайд 23

Описание слайда:

Работа внешней силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Тогда теорема о кинетической энергии применительно к твердому телу звучит так: работа всех приложенных к твердому телу внешних сил равна приращению его кинетической энергии: Согласно уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

Слайд 24

Описание слайда:

Работа внешней силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Тогда элементарное приращение кинетической энергии твердого тела: Здесь  – угловая координата, d – угол, на который поворачивается тело за бесконечно малый промежуток времени dt. Таким образом,

Слайд 25

Описание слайда:

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Динамика плоского движения твердого тела

Слайд 26

Описание слайда:

Плоское движения твердого тела Напомним, что плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются, оставаясь в параллельных друг другу неподвижных плоскостях. В качестве примера в дальнейшем рассмотрим движение цилиндрического тела, скатывающегося по наклонной плоскости. Как уже было сказано ранее, плоское движение можно рассматривать как совокупность двух видов движения: поступательного движения вместе с произвольной точкой тела; вращения вокруг оси, проходящей через эту точку.

Слайд 27

Описание слайда:

Плоское движения твердого тела В качестве такое точки рассмотрим центр масс тела. Тогда, в соответствии с теоремой о движении центра масс и уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, можно записать: Здесь m – масса тела; vС – скорость центра масс; F – сумма всех внешних сил, приложенных к телу; I – момент инерции тела относительно оси вращения Z, проходящей через центр масс; z – проекция на ось Z углового ускорения тела; Mz – проекция на ось Z суммы моментов всех внешних сил.