Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4)

Нажмите для полного просмотра!

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №2

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №3

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №4

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №5

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №6

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №7

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №8

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №9

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №10

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №11

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №12

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №13

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №14

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №15

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №16

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №17

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №18

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №19

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №20

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №21

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №22

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №23

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №24

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №25

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №26

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №27

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №28

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №29

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №30

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №31

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №32

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №33

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №34

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №35

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №36

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №37

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №38

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №39

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №40

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №41

Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4), слайд №42

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Уравнения теории упругости. Закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. (Лекция 4). Доклад-сообщение содержит 42 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Основные уравнения теории упругости Обобщенный закон Гука для изотропного тела. Упругие постоянные. Объемная деформация. Уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ляме). Уравнения неразрывности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла).

Слайд 2

Описание слайда:

Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука Рассмотрим отдельно воздействие сил, возникающих на гранях элементарного параллелепипеда, вырезанного в изотропном теле вокруг рассматриваемой точки.

Слайд 3

Описание слайда:

Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука Найдем , вызванных всеми нормальными напряжениями. За счет напряжения параллелепипед растягивается на относительную величину . Напряжения растягивают его вдоль осе й y и z соответственно, следовательно, вдоль оси х за счет этого происходит сжатие. Соответствующие деформации отрицательны и равны , . Поэтому суммарная деформация вдоль оси х Аналогичные соотношения для

Слайд 4

Описание слайда:

Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука В пределах малых деформаций существует линейная зависимость между физическими свойствами материала и напряжениями и деформациями. Эта зависимость носит название обобщенного (1) закона Гука. Где - модуль сдвига

Слайд 5

Описание слайда:

- коэффициент Пуассона, он характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (т.е. длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. - коэффициент Пуассона, он характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (т.е. длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает во сколько раз изменяется поперечное сечение деформированного тела при его растяжении или сжатии.

Слайд 6

Описание слайда:

Обратная форма закона Гука Обратная форма закона Гука Где и - упругие постоянные, или коэффициенты Ламе. (2) Они также как и модули E и G, характеризуют упругие свойства материала, причем G=

Слайд 7

Описание слайда:

Объемная деформация Объемная деформация Наряду с линейной и угловой деформациями иногда используется понятие объемной деформации, т.е. относительное изменение объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда dx, dy, dz, взятого вокруг точки, в результате деформирования изменяются и становятся равными:

Слайд 8

Описание слайда:

Объемная деформация Объемная деформация Абсолютное приращение объема вычисляется как разность между новым и старым объемом: Раскрывая скобки и пренебрегая произведением линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первыми степенями, получим

Слайд 9

Описание слайда:

Объемная деформация Объемная деформация Отношение приращения к первоначальному объему параллелепипеда называется объемной деформацией . Она равна сумме трех линейных осевых деформаций: (3)

Слайд 10

Описание слайда:

Объемная деформация Объемная деформация При повороте осей координат величина объемной деформации в точке не изменяется, так как совпадает по величине с первым инвариантом тензора деформаций. Выражение объемной деформации через нормальные напряжения получим, подставляя в (3) соотношения обобщенного закона Гука (1): (4)

Слайд 11

Описание слайда:

Объемная деформация Объемная деформация Из (4) можно установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала. Соотношение (4) применимо для произвольного напряженного состояния, следовательно, оно применимо и для случая всестороннего равномерного растяжения . Тогда

Слайд 12

Описание слайда:

Объемная деформация Объемная деформация Так как величина , то объемная деформация также должна быть положительной. Это возможно, если . Следовательно , значение коэффициента Пуассона не может превышать 0.5. Полученный вывод вытекает из частного случая напряженного состояния, однако он является общим для изотропных материалов, поскольку является характеристикой материала и в пределах упругих деформаций от напряженного состояния не зависит.

Слайд 13

Описание слайда:

Коэффициент Пуассона Для абсолютно хрупкого материала , для абсолютно упругого 0.5. для большинства сталей коэффициент Пуассона лежит в районе 0.3, для резины . – величина безразмерная.

Слайд 14

Описание слайда:

Полная потенциальная энергия деформации Полная потенциальная энергия деформации Удельная потенциальная энергии единицы объема (5)

Слайд 15

Описание слайда:

Полная потенциальная энергия деформации Полная потенциальная энергия деформации Через главные напряжения удельная потенциальная энергия (5) выражается в виде: (6) Полную потенциальную энергию получим, проинтегрировав удельную деформацию (5), (6) по объему деформированного тела.

Слайд 16

Описание слайда:

Формулировка основной задачи теории упругости. Типы граничных условий на поверхности тела. Теорема о единственности решения. Понятие о температурных напряжениях и деформациях упругих телах.

Слайд 17

Описание слайда:

Задача ТУ Задача ТУ Полученные закономерности можно использовать для решения задачи ТУ о напряжениях и деформациях, возникающих в упругом изотропном теле под действием внешних сил. Задача ТУ найти напряжения и деформации, возникающие в упругом изотропном теле под действием внешних сил.

Слайд 18

Описание слайда:

Решение задачи ТУ любым способом сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Решение задачи ТУ любым способом сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия диктуют задание или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно один из трёх типов краевых задач.

Слайд 19

Описание слайда:

Первая краевая задача – кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, принимающие на поверхности определенные значения. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнение поверхности и значения составляющих перемещений на этой поверхности. Первая краевая задача – кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, принимающие на поверхности определенные значения. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнение поверхности и значения составляющих перемещений на этой поверхности.

Слайд 20

Описание слайда:

Вторая краевая задача – статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещения и задаются уравнение поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок. Эти данные вносятся в уравнения на поверхности. Вторая краевая задача – статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещения и задаются уравнение поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок. Эти данные вносятся в уравнения на поверхности.

Слайд 21

Описание слайда:

В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, краевые условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на этой поверхности. В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, краевые условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на этой поверхности.

Слайд 22

Описание слайда:

Третья краевая задача – смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой статические. Третья краевая задача – смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой статические. Все разнообразие краевых условий, этими тремя задачами не исчерпывается. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.

Слайд 23

Описание слайда:

Теорема о единственности Теорема о единственности При решении задачи ТУ может возникнуть вопрос о том, является ли полученное решение однозначным, т.е. соответствует ли заданным объемным и поверхностным силам одна система напряжений или их несколько. Докажем следующую теорему. Для тела, находящегося в естественном состоянии, решение задачи ТУ единственно, если справедлив принцип независимости действия сил.

Слайд 24

Описание слайда:

Из доказанной теоремы следует: так как решение задачи ТУ единственно, то безразлично, каким математическим методом она решена. Можно указать три основных метода математического решения задачи ТУ. Из доказанной теоремы следует: так как решение задачи ТУ единственно, то безразлично, каким математическим методом она решена. Можно указать три основных метода математического решения задачи ТУ. 1. Прямой метод. Он заключается в непосредственном интегрировании уравнений ТУ совместно с заданными условиями на поверхности.

Слайд 25

Описание слайда:

2. Обратный метод. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений. 2. Обратный метод. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений.

Слайд 26

Описание слайда:

3. Полуобратный метод Сен-Венана. Он состоит в задании части функций напряжений или перемещений. Затем с помощью уравнений теории упругости устанавливаются зависимости, которым должны удовлетворять оставшиеся функции напряжений и перемещений. При этом дифференциальные уравнения несколько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей. 3. Полуобратный метод Сен-Венана. Он состоит в задании части функций напряжений или перемещений. Затем с помощью уравнений теории упругости устанавливаются зависимости, которым должны удовлетворять оставшиеся функции напряжений и перемещений. При этом дифференциальные уравнения несколько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей.

Слайд 27

Описание слайда:

Дифференциальные уравнения равновесия Дифференциальные уравнения равновесия Дифференциальные соотношения равновесия связывают составляющие объемной силы с составляющими напряжений, эти соотношения получили название уравнений равновесия. Если они выполняется, то элементарный параллелепипед находится в равновесии под действием внешних сил.

Слайд 28

Описание слайда:

Геометрические соотношения носят название уравнений Коши. Геометрические соотношения носят название уравнений Коши.

Слайд 29

Описание слайда:

Уравнения Сен-Венана Уравнения Сен-Венана

Слайд 30

Описание слайда:

Обобщенный закон Гука Обобщенный закон Гука

Слайд 31

Описание слайда:

Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций: Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций: 6 составляющих напряжения: 6 составляющих деформации: 3 составляющих перемещения:

Слайд 32

Описание слайда:

Для отыскания этих функций располагаем 15 уравнениями. Для отыскания этих функций располагаем 15 уравнениями. Т. о. с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию указанных 15 уравнений при удовлетворении условий на поверхности:

Слайд 33

Описание слайда:

Решение уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные. Решение уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные. 1. Решение в перемещениях, когда за неизвестные приняты 3 составляющих перемещения:

Слайд 34

Описание слайда:

2. Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты 6 составляющих напряжений: 2. Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты 6 составляющих напряжений: 3. Решение в смешанной форме, когда за неизвестные приняты некоторые составляющие перемещений и некоторые составляющие напряжений.

Слайд 35

Описание слайда:

Решение задачи ТУ в перемещениях (уравнения Ляме) Решение задачи ТУ в перемещениях (уравнения Ляме)

Слайд 36

Описание слайда:

Решение задачи ТУ в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла) Решение задачи ТУ в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла)

Слайд 37

Описание слайда:

Решение задачи ТУ в напряжениях Решение задачи ТУ в напряжениях Для решения задачи ТУ в напряжениях приходится интегрировать 9 уравнений (6 уравнений Бельтрами-Мичелла и 3 уравнения равновесия). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения. Полученные после интегрирования 6 составляющих напряжений должны удовлетворять условиям на поверхности (граничным условиям). После этого по формулам обобщенного закона Гука определяют составляющие деформаций, а из геометрических соотношений Коши – составляющие перемещений.

Слайд 38

Описание слайда:

Понятие о температурных напряжениях и деформациях в упругих телах. Понятие о температурных напряжениях и деформациях в упругих телах.

Слайд 39

Описание слайда:

Неустановившийся температурный процесс Неустановившийся температурный процесс Неустановившимся называется такой температурный процесс, при котором неизвестная функция положения точки и времени . Для определения температуры дополнительно рассматривают уравнение теплопроводности

Слайд 40

Описание слайда:

Для определения температуры дополнительно рассматривают уравнение теплопроводности Для определения температуры дополнительно рассматривают уравнение теплопроводности где - коэффициент температуропроводности; - коэффициент теплопроводности; - удельная теплоемкость; - плотность; W - количество тепла, которое выделяется в единице объема за единицу времени источником тепла, расположенным внутри элементарного объема dV.

Слайд 41

Описание слайда:

Уравнение теплопроводности интегрируют с учетом различных условий на поверхности. Наиболее часто при решении задач встречаются следующие случаи: Уравнение теплопроводности интегрируют с учетом различных условий на поверхности. Наиболее часто при решении задач встречаются следующие случаи: 1. Температура на поверхности является заданной функцией от координат и времени. 2. Поток тепла через поверхность тела равен нулю, т.е. во всех точках поверхности с нормалью . 3. Поток тепла через поверхность тела является заданной функцией от координат и времени.

Слайд 42

Описание слайда:

4. Происходит излучение с поверхности. Если поток тепла через поверхность пропорционален разности температур на границе между телом (t) и окружающей средой (t0), т.е. определяется выражением 4. Происходит излучение с поверхности. Если поток тепла через поверхность пропорционален разности температур на границе между телом (t) и окружающей средой (t0), т.е. определяется выражением где H-коэффициент теплоотдачи, то граничное условие имеет вид: 5. на границе двух слоев