🗊Презентация Волны в упругих средах. (Лекция 2)

ЛЕКЦИЯ 2. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

В общем случае движение частиц вещества (атомов и молекул) хаотично, т.е. не существует какого-то выделенного (преимущественного) направления движения: В общем случае движение частиц вещества (атомов и молекул) хаотично, т.е. не существует какого-то выделенного (преимущественного) направления движения: - в твердых телах атомы и молекулы колеблются около положений равновесия; - в жидкостях молекулы находятся большую часть времени вблизи положения равновесия, совершая тепловые колебания, но время от времени скачкообразно перемещаются из одного такого положения в другое; - в газах молекулы движутся поступательно, периодически изменяя направления своего движения в результате столкновений с другими молекулами

Существует несколько способов вызвать согласованное колебательное движение частиц вещества. Существует несколько способов вызвать согласованное колебательное движение частиц вещества. Именно так обстоит дело при распространении звука в различных средах. Например, колебания упругой мембраны громкоговорителя или голосовых связок человека порождаю согласованное колебательное движение расположенных рядом с источником звука молекул воздуха. Возникают сменяющие друг друга состояния сжатия и разряжения газовой среды, которые передаются в другие области заполненного воздухом объема. Говорят, что в воздухе распространяется звуковая (акустическая) волна.

Будем считать среду сплошной и непрерывной (т.е. мельчайшие структурные частицы вещества – атомы, ионы, молекулы – расположены очень близко друг к другу; в любом элементарном объеме вещества находится огромное количество частиц, а в любой произвольно выбранной точке заполненного веществом пространства обязательно имеется частица). Будем считать среду сплошной и непрерывной (т.е. мельчайшие структурные частицы вещества – атомы, ионы, молекулы – расположены очень близко друг к другу; в любом элементарном объеме вещества находится огромное количество частиц, а в любой произвольно выбранной точке заполненного веществом пространства обязательно имеется частица). Будем также считать среду упругой: она оказывает сопротивлением растяжению или сжатию, и возможно – сдвигу – относительному перемещению граничащих друг с другом частей среды вдоль поверхности их соприкосновения.

Волна – это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой среды, при котором сами частицы совершают малые колебания около положений их равновесия и не перемещаются по всему заполненному упругой средой объему. Волна – это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой среды, при котором сами частицы совершают малые колебания около положений их равновесия и не перемещаются по всему заполненному упругой средой объему. Волна называется: продольной, если направление колебаний частиц среды совпадает с направлением распространения волны (в жидкостях, газах и твердых телах); поперечной, если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны (в твердых телах).

Волновым фронтом называется поверхность, отделяющая область пространства, вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания частиц среды еще не возникли. Волновым фронтом называется поверхность, отделяющая область пространства, вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания частиц среды еще не возникли. Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых в процессе распространения волны колебания доходят в один и тот же момент времени t. Волновая поверхность – поверхность, которая проходит через положения равновесия частиц среды, колеблющихся в одинаковой фазе.

Имеются следующие различия между волновым фронтом и волновой поверхностью: Имеются следующие различия между волновым фронтом и волновой поверхностью: волновой фронт перемещается в пространстве, а волновая поверхность остается неподвижной; распространяющаяся в пространстве волна в каждый момент времени имеет один единственный волновой фронт, а волновых поверхностей у каждой волны бесконечное множество; волновой фронт совпадает с одной из волновых поверхностей.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют собой плоскости; сферической или цилиндрической – если волновые поверхности имеют сферическую или цилиндрическую форму соответственно. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют собой плоскости; сферической или цилиндрической – если волновые поверхности имеют сферическую или цилиндрическую форму соответственно.

Волновое число k – величина, равная отношению циклической частоты  к скорости волны v: Волновое число k – величина, равная отношению циклической частоты  к скорости волны v: Другое выражения для волнового числа: Волновой вектор k – вектор, модуль которого равен волновому числу k, а направление совпадает с направлением нормали n к волновой поверхности

Обозначим буквой  величину смещения из положения равновесия частицы упругой среды, совершающей колебания в процессе распространения волны; буквами x, y, z обозначим пространственные координаты точки, которая является положением равновесия этой частицы Обозначим буквой  величину смещения из положения равновесия частицы упругой среды, совершающей колебания в процессе распространения волны; буквами x, y, z обозначим пространственные координаты точки, которая является положением равновесия этой частицы

Уравнение волны – это функция, описывающая зависимость величины смещения  колеблющейся частицы от координат x, y, z этой частицы и времени t: Уравнение волны – это функция, описывающая зависимость величины смещения  колеблющейся частицы от координат x, y, z этой частицы и времени t: Направление смещения частицы может совпадать с направлением распространения волны (продольная волна) или быть перпендикулярным этому направлению (поперечная волна)

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X: в такой волне частицы среды, расположенные в плоскости x = const, колеблются одинаково, т.е. в любой момент времени у них одинакова величина смещения  из положения равновесия. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X: в такой волне частицы среды, расположенные в плоскости x = const, колеблются одинаково, т.е. в любой момент времени у них одинакова величина смещения  из положения равновесия. В этом случае  является функцией только координаты x и времени t: Если колебания частиц – гармонические, то уравнение колебаний частиц, расположенных в плоскости x = 0 (источник) описываются функцией

Если волна распространяется со скоростью v в положительном направлении оси X, то колебания частиц, расположенных в плоскости x = const будут отставать по времени от колебаний частиц в плоскости x = 0 на величину  = x/v: Если волна распространяется со скоростью v в положительном направлении оси X, то колебания частиц, расположенных в плоскости x = const будут отставать по времени от колебаний частиц в плоскости x = 0 на величину  = x/v: Полученное уравнение представляет собой уравнение плоской гармонический волны, распространяющейся в положительном направлении оси X:

Здесь: A – амплитуда волны;  – циклическая частота колебаний источника (частиц среды), k = /v – волновое число, t – kx + 0 – фаза волны, 0 – начальная фаза (определяется выбором начала отсчета координаты x и времени t).

Фазовой скоростью vф волны называется скорость перемещения в пространстве поверхности постоянной фазы волны. Фазовой скоростью vф волны называется скорость перемещения в пространстве поверхности постоянной фазы волны. Фазовую скорость плоской гармонической волны можно определить, записав условие постоянства ее фазы: Это равенство представляет собой уравнение плоскости в пространстве, скорость перемещения которой и является фазовой скоростью волны: В гармонической волне фазовая скорость совпадает со скоростью ее распространения:

На рисунке представлены графики зависимости функции (x,t) от времени t (уравнение колебания частицы в точке с координатой x) и координаты x (профиль волны). На рисунке представлены графики зависимости функции (x,t) от времени t (уравнение колебания частицы в точке с координатой x) и координаты x (профиль волны).

Рассмотрим плоскую волну, волновой вектор которой k направлен под углами ,  и  к соответствующим осям X, Y и Z декартовой системы координат. Рассмотрим плоскую волну, волновой вектор которой k направлен под углами ,  и  к соответствующим осям X, Y и Z декартовой системы координат. Уравнение колебаний частиц, расположенных на волновой поверхности, проходящей через начало координат:

Колебания частиц, положения равновесия которых принадлежат другой волновой поверхности, отстоящей на расстояние l первой, запаздывают по времени на величину  = l/v, где v – скорость волны: Колебания частиц, положения равновесия которых принадлежат другой волновой поверхности, отстоящей на расстояние l первой, запаздывают по времени на величину  = l/v, где v – скорость волны:

Поскольку расстояние l можно представить в виде l = rn, где r – радиус-вектор произвольной точки рассматриваемой волновой поверхности, n – вектор нормали к ней, то Поскольку расстояние l можно представить в виде l = rn, где r – радиус-вектор произвольной точки рассматриваемой волновой поверхности, n – вектор нормали к ней, то

Таким образом, уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, заданном единичным вектором n или волновым вектором k, имеет вид Таким образом, уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, заданном единичным вектором n или волновым вектором k, имеет вид

Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение распространяющейся в пространстве плоской (сферической, цилиндрической и т.д.) волны. Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение распространяющейся в пространстве плоской (сферической, цилиндрической и т.д.) волны. Получим волновое уравнение путем дифференцирования одного из его решений, например, уравнения плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:

Вычислим вторую производную от  по времени t и вторые производные от  по координатам x, y, z:

Теперь сложим последние три равенства:

Выразив из первого и последнего уравнений  и приравняв их друг другу, получим:

Учитывая, что k = /v, где v – фазовая скорость волны, получим волновое уравнение: Учитывая, что k = /v, где v – фазовая скорость волны, получим волновое уравнение: Можно показать, что любая функция вида тоже является решением волнового уравнения.

ЛЕКЦИЯ 2. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

Для вычисления энергии упругой волны выделим в среде, где распространяется волна, малый объем V, масса которого равна V, где  – плотность вещества среды. Для вычисления энергии упругой волны выделим в среде, где распространяется волна, малый объем V, масса которого равна V, где  – плотность вещества среды. Пусть плоская продольная волна распространяется вдоль оси X: Благодаря волне объем V приобретает скорость и кинетическую энергию:

Потенциальная энергия деформированного объема V равна Потенциальная энергия деформированного объема V равна Полная энергия объема V: Объемная плотность энергии упругой волны составит величину:

На практике большой интерес представляет не мгновенное, а среднее по времени значение объемной плотности энергии: Энергия упругой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.

Пусть в пространстве распространяется упругая волна и задана некоторая поверхность S. Частицы упругой среды, вовлеченные в волновой процесс, обладают дополнительной энергией, обусловленной их упорядоченным согласованным движением. Таким образом, энергия упругой волны – это энергия согласованного колебательного движения частиц среды. Пусть в пространстве распространяется упругая волна и задана некоторая поверхность S. Частицы упругой среды, вовлеченные в волновой процесс, обладают дополнительной энергией, обусловленной их упорядоченным согласованным движением. Таким образом, энергия упругой волны – это энергия согласованного колебательного движения частиц среды. В процессе своего распространения волна переносит энергию из областей пространства, вовлеченных в волновой процесс, в области, где колебания частиц еще не возникли. Таким образом, имеет место процесс переноса энергии.

Для количественного описания процесса переноса энергии волной вводятся понятия потока энергии, вектора плотности потока энергии и интенсивности волны. Для количественного описания процесса переноса энергии волной вводятся понятия потока энергии, вектора плотности потока энергии и интенсивности волны. Поток энергии Ф – количество энергии, переносимой волной за единицу времени через заданную площадь S: где dW – количество энергии, переносимой волной через поверхность S за промежуток времени dt. Единица потока энергии – ватт (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с.

Вектор плотности потока энергии j – произведение объемной плотности энергии волны w, скорости распространения волны v и единичного вектора нормали n в направлении распространения волны: Вектор плотности потока энергии j – произведение объемной плотности энергии волны w, скорости распространения волны v и единичного вектора нормали n в направлении распространения волны: Единица плотности потока энергии – ватт на метр в квадрате (Вт/м2). Общие представления о потоке энергии в пространстве были введены Н.А. Умовым (1846 – 1915). Вектор плотности потока энергии без конкретизации ее физической природы называется вектором Умова.

Установим связь между вектором j и потоком . Для этого найдем поток d энергии волны через произвольную площадку dS, расположенную под углом  к направлению распространения волны: Установим связь между вектором j и потоком . Для этого найдем поток d энергии волны через произвольную площадку dS, расположенную под углом  к направлению распространения волны:

Таким образом, модуль плотности потока энергии j равен потоку энергии, переносимому волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны Поток энергии  через произвольную поверхность S может быть найден, если известен вектор j в каждой точке этой поверхности:

Интенсивность волны I – скалярная величина, равная модулю среднего по времени вектора плотности потока энергии: Интенсивность волны I – скалярная величина, равная модулю среднего по времени вектора плотности потока энергии: Таким образом, интенсивность волны I равна произведению средней по времени объемной плотности энергии волны и скорости волны.

Вычислим интенсивность упругой волны: Вычислим интенсивность упругой волны: Таким образом, интенсивность I волны пропорциональная квадрату ее амплитуды A.

ЛЕКЦИЯ 2. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

Стоячая волна образуется при наложении двух плоских волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу: Стоячая волна образуется при наложении двух плоских волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу: При наложении двух волн любая частица среды одновременно участвует в двух колебательных движениях, описываемых этими уравнениями. Результирующее смещение частицы из положения равновесия  равно сумме смещений 1 и 2, вызванных каждой из бегущих волн:

Уравнение волны, образующейся в результате наложения двух плоских волн, т.е. уравнение стоячей волны: Уравнение волны, образующейся в результате наложения двух плоских волн, т.е. уравнение стоячей волны: Изменим начало отсчета координаты x и момента начала времени t, заменив переменные:

Тогда уравнение бегущей волны в переменных x и t примет вид: Тогда уравнение бегущей волны в переменных x и t примет вид: Таким образом показано, что уравнение стоячей волны всегда может быть приведено к виду Из уравнения видно, что частицы упругой среды совершают гармонические колебания с циклической частотой , амплитуда которых |2Acoskx| зависит от координаты x положения равновесия колеблющейся частицы.

Пучности стоячей волны – это точки пространства, которые являются положениями равновесия частиц среды, совершающих колебания с максимальной амплитудой (2A) Пучности стоячей волны – это точки пространства, которые являются положениями равновесия частиц среды, совершающих колебания с максимальной амплитудой (2A) Максимальное значение амплитуды |2Acoskx| достигается при условии: |coskx| = 1, из которого можно определить положение пучностей в пространстве: Расстояние между двумя соседними пучностями равно половине длины волны: x(пуч.) = /2.

Узлами стоячей волны называются точки пространства, которые являются положения равновесия частиц упругой среды с нулевой амплитудой колебаний (0). Узлами стоячей волны называются точки пространства, которые являются положения равновесия частиц упругой среды с нулевой амплитудой колебаний (0). Амплитуда |2Acoskx| = 0 достигается при условии: |coskx| = 0, из которого можно определить положение узлов в пространстве: Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны: x(узл.) = /2.

На рисунке представлен профиль стоячей волны в разные моменты времени, разделенные промежутком в 1/16 периода колебаний T. На рисунке представлен профиль стоячей волны в разные моменты времени, разделенные промежутком в 1/16 периода колебаний T. Видно, что частицы, расположенные в узлах, не колеблются, а частицы пучностей волны – колеблются с максимальной амплитудой.

Можно показать, что за период колебаний дважды происходит превращение энергии стоячей волны из полностью потенциальной, сосредоточенной вблизи узлов волны, в полностью кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. Можно показать, что за период колебаний дважды происходит превращение энергии стоячей волны из полностью потенциальной, сосредоточенной вблизи узлов волны, в полностью кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате энергия переходит от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии, переносимой стоячей волной, в любом перпендикулярном оси X сечении волны равен нулю (в стоячей волне нет переноса энергии)