🗊Презентация Вынужденные механические колебания

Вынужденные механические колебания Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– r∙υ), действует добавочная периоди-ческая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем: max = −kx − rυx + Fx (7.1) – основное уравнение колебательного процесса, или (7.2) где fx = Fx/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармо-ническому закону: fx = F0 cosωt. Через некоторое время после начала действия вынуждаю-щей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω. Уравнение установившихся вынужден-ных колебаний: X=Asin(ωt+φ) (7.3)

Задача: найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждаю-щей силой. Воспользуемся тем, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость: Подставим эти уравнения в уравнение (7.2)

Каждое слагаемое этого уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды: A1 = ω2 – амплитуда ускорения; A2 = 2βω – амплитуда ско-рости; A3 = ω02 – амплитуда смещения; A4 = F0 /mA – ам-плитуда вынуждающей силы, причем A3 > A1 . Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения век-торов: Из рисунка видно, что Тогда

Таким образом, A ~ F0/m и ~ 1/β. При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0. Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения:

г) физический маятник Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием собственной силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела и называемой осью качания. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс. Как правило, силой трения в под-весе маятника пренебрегают и момент относительно оси качания маятника создает только его сила тяжести mg. При отклонении маятника на угол α момент, создаваемый силой тяжести равен: M = mgd sinα . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (для тела с момен- том инерции I, вращающегося вокруг непод- вижной оси в отсутствие трения): При малых α → sinα ≈ α →

Сравнивая с уравнением свободных незатухающих гармонических колебаний: d2x/dt2 + ω2x = 0 , имеем для физического маятника: Предельным случаем физического маятника является математичес-кий маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой не-растяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной пло-скости под действием силы тяжести. Вся масса сосредоточена в центре масс тела. При этом d=l – длина маятника и момент инер-ции J = ml2. Тогда Длина математического маятника, имеющего такой же период ко-лебаний, что и данный физический маятник, называется приве-денной длиной физического маятника. Точка О1, находящаяся на расстоянии lпр от точки подвеса О маятника, называется центром качания физического маятника. Точки O и О1 обладают свойством взаимности, т.е. при перемене их ролей длина и период маятника останутся прежними.

Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре Простейшим колебательным контуром является замкнутая цепь, состоящая из емкости C и катушки индуктивности L. По закону Ома для замкнутой цепи: сумма падений напряжений на проводниках сопротивлением R и на конденсаторе Uс равна ЭДС самоиндукции в контуре IR + Uc = IR + Q/C = εsi = -L(dI/dt). I = dQ/dt → dI/dt = d2Q/dt2, (R→0) → d2Q/dt2 + ω2Q =0 Q =Qmsin(ωt + φ0) и I = dQ/dt = ωQmcos(ωt + φ0) = Imcos(ωt + φ0) W = Wэл + Wмагн = (1/2)∙(LI2 + CU2)

Сложение гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу Сложение колебаний – нахождение значения результирующих ко-лебаний системы при ее участии в нескольких колебательных процессах. Различают сложение сонаправленных и взаимнопер-пендикулярных колебаний. Используем метод векторных диаграмм. x1 = A1sin(ω1t + φ1) = A1sinФ1(t) x2 = A2sin(ω2t + φ2) = A2sinФ2(t) Результирующее колебание: x = x1 +x2 = AsinФ(t) , где амплитуда A2(t) = A12 + A22 + 2A1A2cos(Ф2 –Ф1)

Когерентными называются колебания, разность фаз которых во времени постоянна; т.к. Φ(t) = (ω2 − ω1)t + (ϕ2 − ϕ1 ) = const , то это выполняется при ω2= ω1= ω, тогда x = x1+ x2= Asin(ωt+ϕ0), где амплитуда А и фаза Ф результирующего колебания. Тогда в зави-симости от значения (ϕ2 −ϕ1) результирующая амплитуда А изменяется в пределах от A = |A1 − A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π, до A = |A1 + A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m (m → целые числа). При ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m колебания называются синфазными (в одной фазе), а при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π – противофазными. При ω1 ≠ ω2 результирующий вектор A будет изменяться по длине и вращаться с переменной скоростью. При сложении колебаний с близкими частотами (Δω=|ω2 −ω1|<<ω) возникают, так называе-мые, биения, тогда x1 = xmcosωt, x2 = xmcos(ωt + Δωt).

[2ωt >>Δω; cos(-Δωt)=cos(Δωt)] Косинус берется по модулю, так как функция четная и поэтому частота биений ωб = Δω, а не Δω/2. Период биений равен половине периода мо- дуляции: Тб = Тмод /2 = 2π/(Δω)