🗊Презентация Явления переноса в газах

Лекция 18 Явления переноса в газах

Столкновения молекул В газовой среде могут иметь место неоднородности концентрации компонентов газовой смеси, скорости перемещения макроскопических масс вещества, температуры. Равновесие в газе устанавливается в результате столкновений между молекулами. Для этого достаточно, чтобы каждая молекула испытала одно-два столкновения.

Столкновения молекул Для упрощения расчета предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью v, а все остальные молекулы неподвижны. Будем называть движущуюся молекулу молекулой А. Вообразим, что с молекулой А жестко связана концентрическая с ней твердая сфера S вдвое большего диаметра. Назовем эту сферу сферой ограждения молекулы А. В момент столкновения расстояние между центрами сталкивающихся молекул равно диаметру молекулы d.

Столкновения молекул Между двумя последовательными столкновениями молекулы А ее сфера ограждения описывает цилиндр, длина которого и есть свободный пробег молекулы А. Из таких цилиндров складывается поверхность, описываемая с течением времени сферой ограждения Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого цилиндра, то она столкнется с молекулой А. В противном случае столкновения не произойдет.

Столкновения молекул Пусть V – объем ломаного цилиндра, описываемого сферой S в единицу времени. Среднее число z столкновений движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему числу последних в объеме V, z = Vn, где n – число молекул в единице объема.

Столкновения молекул Тогда можно пренебречь теми частями объема , которые приходятся на изломы цилиндра, При вычислении V цилиндр можно считать прямым, а его высоту равной относительной скорости молекулы . В этом приближении, где – площадь поперечного сечения цилиндра. Эту величину называют также газокинетическим сечением молекулы.

Длина свободного пробега   Отсюда время t, которое молекула движется без столкновений равно     В течение этого времени молекула двигается со средней скоростью  

Длина свободного пробега Средняя длина свободного пробега равна    

Длина свободного пробега Нам неизвестно значение средней относительной скорости молекул. Относительное движение сводится к движению тела приведенной массы  ,

Средняя относительная скорость Чтобы получить распределение молекул по относительным скоростям, достаточно в распределении Максвелла по абсолютным скоростям заменить массу на приведенную массу. .   В таком случае среднюю относительную скорость можно найти путем замены в массы на приведенную массу  

Длина свободного пробега Если газ состоит из молекул одного типа, то . В таком случае средняя относительная скорость будет равна   ,   и соответственно  

Длина свободного пробега Длина свободного пробега не зависит от температуры. Физический смысл этого явления можно понять, если вспомнить, что с повышением температуры увеличивается средняя скорость молекул. Они при этом быстрее двигаются, но и чаще сталкиваются, в итоге ничего не выигрывая в свободном пробеге.

Длина свободного пробега .В случае смеси двух газов с массой молекул m1 и m2, концентрациями n1 и n2 и газокинетическими сечениями 11 – столкновения молекул первого типа друг с другом, 22 – столкновения молекул второго типа и – столкновения молекул разных типов, действуя аналогично, мы получим для средней длины пробега:   Молекул первого типа   Молекул второго типа .

Рассеяние молекулярного пучка в газе Допустим, что в газе распространяется параллельный пучок молекул. Пусть Jo — интенсивность пучка, когда он пересекает плоскость АВ, перпендикулярную к нему. Найдем интенсивность J того же пучка на расстоянии х от плоскости АВ.

Рассеяние молекулярного пучка в газе Возьмем бесконечно тонкий слой газа с толщиной dx и площадью поперечного сечения S = 1. Число молекул газа в нем равно nSdx = ndx. Среднее число частиц, выбывающих из пучка из-за столкновений с одной молекулой газа, равно J, из-за столкновений с ndx молекулами dN = Jndx = (J/)dx. На такую величину уменьшится интенсивность пучка после прохождения слоя dx 

Рассеяние молекулярного пучка в газе .   Интегрирование этого выражения дает   .   Из-за рассеяния интенсивность пучка убывает экспоненциально. В связи с этим величину 1/ называют коэффициентом рассеяния.

Рассеяние молекулярного пучка в газе Если N0 – число частиц, прошедших через площадку AB, то число частиц, прошедших без столкновения расстояние x, определяется выражением   .

Рассеяние молекулярного пучка в газе Число частиц, претерпевших столкновение в слое (x, x + dx), равно   .   Средний путь, пройденный частицами без столкновений,   Он совпадает с длиной свободного пробега .

Принцип локального равновесия Принцип (или гипотезы) локального равновесия, который состоит в следующем. Как уже говорилось, в результате столкновений молекул друг с другом устанавливается равновесное распределение их по скоростям поступательного движения. Причем достаточно, чтобы каждая из молекул испытала одно-два соударения. В принципе локального равновесия предполагается, что все молекулы, попавшие в объем, размеры которого порядка <>, испытают в нем соударения и что в этом малом объеме устанавливается локальное равновесие с некоторой температурой, плотностью и т. д. В другом подобном объеме также устанавливается равновесное состояние, но по другим по величине параметрами. Таким образом, каждой точке пространства можно приписать свои локальные параметры.

Диффузия Допустим, что закрытая горизонтальная труба разделена на две части перегородкой. По одну сторону перегородки находится какой-то газ 1, а по другую – газ 2. Пусть давления и температуры обоих газов одинаковы. Если удалить перегородку, то газы начнут перемешиваться. Причиной этого является хаотическое тепловое движение молекул. Спустя некоторое время концентрации компонентов смеси станут одинаковыми по обе стороны перегородки. Такое проникновение молекул одного газа в среду молекул другого газа называется взаимной, или концентрационной диффузией газов. Если газы по обе стороны перегородки тождественны, то диффузия также будет происходить. В этом случае она называется самодиффузией.

Диффузия Рассмотрим случай, когда в газе есть примесь другого газа. Общее давление везде одинаково, а концентрация примеси n(х) меняется вдоль оси х . Выделим перпендикулярную этой оси единичную площадку. Потоки молекул в единицу времени с одной и другой стороны пропорциональны концентрациям в элементах объема, находящихся на расстояниях, отстоящих примерно на величину свободного пробега слева и справа от площадки. Будем приближенно считать, что по направлению к площадке двигаются 1/6 часть молекул с одинаковой скоростью равной средней скорости молекул примеси.

Диффузия В таком случае потоки можно выразить следующим образом:   .   Результирующий поток есть сумма этих потоков  

Диффузия Величина     называется коэффициентом диффузии. Диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации. Это закон Фика.

Связь между коэффициентами подвижности и диффузии Пусть на частицы (они могут быть как макроскопическими, так и молекулярных размеров) действует постоянная сила В результате частица участвует в хаотическом тепловом движении и одновременно под действием силы приобретает скорость регулярного движения в сторону действия этой силы. После усреднения по временам пробега получаем   ,   где – среднее время пробега между столкновениями. Коэффициент пропорциональности B называется подвижностью молекулы.

Связь между коэффициентами подвижности и диффузии В поле силы частица обладает потенциальной энергией (ось x направлена в сторону действующей силы). Если состояние стационарное и температура постоянна, то концентрация частиц меняется в пространстве в соответствии с формулой Больцмана . Из-за действия силы возникает поток, величина которого ей пропорциональна Также эта величина пропорциональна плотности,   .

Связь между коэффициентами подвижности и диффузии С другой стороны, из-за градиента концентрации имеется направленный противоположно диффузионный поток   .   В состоянии равновесия суммарный поток частиц равен нулю   .

Связь между коэффициентами подвижности и диффузии Используя выражение для концентрации n, задаваемое распределением Больцмана из последнего равенства получим соотношение, связывающее коэффициент диффузии и подвижность частиц:   . Оно было установлено Эйнштейном и носит его имя.

Теплопроводность Если между двумя стенками, имеющими разные температуры, находится слой газа, то через этот газ осуществляется перенос тепла от горячей стенки к холодной (). Будем считать, что длина свободного пробега много меньше расстояния h между стенками. Требуется найти поток тепла q через единичную площадку с координатой x в сечении, параллельном стенкам.

Теплопроводность Слева и справа через это сечение проходят потоки частиц j+ и j–. Так как пространство замкнуто, то в стационарных условиях эти потоки равны . Вместе с тем частицы, пересекающие сечение слева, имеют более высокую температуру, чем частицы, пересекающие сечение справа, в результате чего через сечение осуществляется перенос энергии.

Теплопроводность Каждая молекула переносит среднее количество тепла, равное (cV - молярная теплоемкость, NA - число Авогадро). Таким образом, поток энергии через единицу площади сечения с координатой x равен  

Теплопроводность Поскольку  мало, это выражение в скобках можно разложить по этому параметру малости, сохранив только первый член:   Как и при определении диффузионных потоков будем приближенно считать, что . Тогда получим  ,   где - коэффициент теплопроводности:   .

Теплопроводность Поток тепла пропорционален градиенту температуры и направлен против него. Этот факт был установлен экспериментально и назван законом Фурье.  

Вязкость газа Между двумя параллельными пластинками АВ и СD) находится воздух или другой газ. При движении пластинки CD появляется сила, действующая на пластинку АВ и направленная в сторону движения. Эта сила и есть сила вязкости.

Вязкость газа Будем представлять себе газ неограниченным и движущимся стационарно плоскопараллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскопического движения u меняется в направлении, перпендикулярном к слоям. Это направление мы примем за ось X Таким образом, мы предполагаем, что u = u(х).

Вязкость газа При наличии упорядоченного движения газа средняя скорость молекулы не нуль, а равна u = u(х). С этой скоростью связано количество движения mu, которым обладает рассматриваемая молекула. Такое количество движения условимся называть упорядоченным. Молекулы, лежащие над плоскостью А В, обладают большим упорядоченным количеством движения, чем молекулы, расположенные под ней. Переходя из пространства над плоскостью MN в пространство под ней, молекулы передают часть своего упорядоченного количества движения молекулам, с которыми они сталкиваются в пространстве ниже плоскости МN.

Вязкость газа Количественное рассмотрение вязкости аналогично рассмотрению задач диффузии и теплопроводности. Только в этом случае происходит перенос импульса. Теперь вместо в надо использовать m, а вместо T(x) надо использовать u(x). Тогда для силы напряжения трения  (силы трения, действующей на единичную площадку в сечении между слоями) получаем   ,   где  – коэффициент вязкости.

Вязкость газа Так как  обратно пропорциональна n, то отсюда следует, что вязкость и теплопроводность не зависят от плотности газа. К такому выводу впервые пришел Максвелл, и этот вывод показался ему парадоксальным. Однако опыты, поставленные самим Максвеллом и другими физиками, подтвердили указанный вывод.

Вязкость газа Независимость вязкости и теплопроводности от плотности газа имеет простое объяснение. Если плотность газа велика, то в переносе импульса и энергии участвует много молекул. Однако передача импульса и энергии за время между двумя последовательными столкновениями производится малыми порциями и на малые расстояния. Если же плотность мала, то уменьшается и число молекул, участвующих в переносе. Но это уменьшение полностью компенсируется тем, что теперь молекулы переносят импульс и энергию более крупными порциями и на большие расстояния.

Явления в разреженных газах Если средняя длина свободного пробега  того же порядка, что и характерный линейный размер сосуда d, в котором заключен газ, или больше, то состояние газа называют вакуумом. Воздух в комнате, например, при атмосферном давлении в состоянии вакуума не находится, так как в этом случае  ~ 10-5 см. Однако в сосуде, линейные размеры которого меньше 10-5 см (поры дерева и многих других пористых тел), тот же воздух уже находится в условиях вакуума.

Явления в разреженных газах Различают три вида вакуума: 1) низкий, когда  меньше характерного размера сосуда d, но приближается к нему; 2) средний, когда  сравнима с d, 3) высокий (или глубокий), когда  значительно больше d. Газ в состоянии высокого вакуума называется ультраразреженным.

Явления в разреженных газах В плотных газах . В этих случаях столкновения между молекулами самого газа играют основную роль в его поведении. Только такие случаи и имелись в виду во всем предшествующем изложении. В другом предельном случае, когда газ становится ультраразреженным, столкновения между самими молекулами относительно редки и перестают играть заметную роль. Основную роль в этом случае играют столкновения молекул со стенками сосуда.

Явления в разреженных газах Пусть сосуд разделен перегородкой на две части А и В. Часть А заполнена газом, в части В газа нет. Выделим мысленно на поверхности перегородки площадку s. Число молекул, ежесекундно ударяющихся об эту площадку, определяется формулой   ,   где С – постоянная, равная . Проделаем теперь в перегородке отверстие, площадь которого равна s.

Явления в разреженных газах Поток молекул газа через отверстие в стенке называется эффузионным потоком, если размеры отверстия и толщина стенки малы по сравнению с длиной свободного пробега . Допустим теперь, что по разные стороны перегородки находится один и тот же газ, но при разных давлениях и температурах. Если газ находится в состоянии высокого вакуума, то возникнут два эффузионных потока: из А в В и из В в А

Явления в разреженных газах Ввиду отсутствия столкновений между молекулами эти два потока совершенно независимы друг от друга. Поэтому количество молекул, ежесекундно проходящих через отверстие s из А в В, определится выражением   ,   где РA, PB, ТA, ТB – давления и температуры газа в А и В. В состоянии равновесия, когда средние числа молекул в А и В остаются неизменными, должно быть N = 0, т. е.   .

Явления в разреженных газах Пусть два сосуда 1 и 2 соединены между собой трубкой и поддерживаются при разных температурах Т1 и Т2. Когда поперечное сечение трубки очень велико по сравнению с длиной свободного пробега, Условие равновесия носит гидродинамический характер: должны быть равны давления Р1 и P2 в обоих сосудах. В противоположном случае, когда длина свободного пробега очень велика по сравнению с поперечными размерами трубки, гидродинамический подход неприменим.

Явления в разреженных газах Условие равновесия требует, чтобы среднее число частиц газа, проходящих через трубку в одном направлении, было равно среднему числу частиц, проходящих в противоположном направлении. Это условие приводит к соотношению   .   Следовательно, если температуры Т1 и Т2 различны, то при равновесии будут различны и давления Р1 и Р2.

Явления в разреженных газах Допустим теперь, что сосуд разделен пористой перегородкой на две части, поддерживаемые при разных температурах Т1 и Т2. Пусть размеры пор малы по сравнению с длиной свободного пробега. Тогда, если первоначальные давления Р1 и Р2 были равны, то газ начнет перетекать в направлении от более низкой к более высокой температуре. Это явление называется тепловой диффузией или эффектом Кнудсена.

До следующей лекции