🗊Презентация Законы движения планет. Неинерциальные системы координат

Лекция 7 Законы движения планет. Неинерциальные системы координат

Момент Силы Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Пусть – радиус-вектор, проведенный к точке приложения силы . Моментом силы относительно точки O называется векторное произведение радиуса-вектора на силу .

Момент импульса Аналогично определяется момент импульса материальной точки. Так называется

Момент импульса Продифференцируем выражение для момента импульса по времени  .  Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, поскольку вектора скорости () и импульса (m) параллельны. Второе слагаемое равно моменту силы. В итоге получаем:  .

Момент импульса Момент импульса замкнутой системы частиц равен сумме моментов импульсов всех частиц:  . Все взаимодействия в системе частиц можно рассматривать как сумму взаимодействий пар частиц. Для любой пары  .  Вследствие третьего закона Ньютона и . Отсюда получаем:  .  Здесь первые два члена равны нулю. Третий член равен нулю вследствие третьего закона Ньютона, поскольку сила направлена по радиус-вектору, соединяющему частицы.

Момент импульса Момент импульса замкнутой системы сохраняется. При наличии внешних сил для системы получается следующий результат:  ,   что означает: производная по времени от момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил. При отсутствии внешних сил момент импульса системы не зависит от времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса.

Момент импульса Поле, в котором сила взаимодействия направлена по соединяющей тела прямой, называется центральным. Примерами могут служить гравитационное и электростатическое поля. В центральном поле, в силу параллельности радиус-вектора тела и силы взаимодействия момент импульса всегда сохраняется. Поэтому тело в центральном поле всегда двигается в одной плоскости, к которой перпендикулярен вектор момента импульса, что значительно упрощает задачу нахождения траектории тела. Напомним, что задача двух тел сводится к задаче о движения тела с приведенной массой вокруг «закрепленного» центра. Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что центр поля неподвижен. Мы ограничимся рассмотрением одного центрального поля – гравитационного.

Энергия частицы в гравитационном поле. Гравитационное поле является потенциальным, и в нем выполняется, наряду с законом сохранения импульса, закон сохранения энергии:  

Энергия частицы в гравитационном поле. Для краткости введем обозначение Далее: перейдем к полярным координатам и разложим скорость на радиальную и перпендикулярную (к радиус-вектору компоненты В итоге мы получим для кинетической энергии следующее выражение:   . В полярных координатах момент импульса частицы можно выразить как: .

Энергия частицы в гравитационном поле Выражение для полной энергии можно записать следующим образом:   .   Введем эффективный потенциал .  .   Движение по радиусу свелось к движению в эффективном потенциальном поле, содержащем кроме потенциальной энергии дополнительное слагаемое , которое называют центробежным потенциалом или центробежной энергией.

Энергия частицы в гравитационном поле При функция быстрее стремится к бесконечности, чем . Поэтому при малых r положительна и стремится к . Наоборот, при стремится к нулю медленнее, чем , поэтому при больших радиусах отрицательна. График имеет вид «потенциальной ямы».

Энергия частицы в гравитационном поле Так как величина не может быть отрицательной, то область, в которой может находиться частица определяется условием . Проведем горизонтальную прямую . Если , то прямая пересечет кривую .в двух точках A и B. В этом случае движение частицы финитно (ограничено в пространстве). При , движение не ограничено в пространстве (инфинитно). представлен ниже.

Иоганн Кеплер и Тихо Браге Тихо Браге - 14 декабря 1546, Кнудструп, Дания (ныне на территории Швеции) — 24 октября 1601, Прага) — датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения. Первым в Европе начал проводить систематические и высокоточные астрономические наблюдения, на основании которых Кеплер вывел законы движения планет.

Иоганн Кеплер и Тихо Браге Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения. Особо ценной была систематичность измерений

Иоганн Кеплер и Тихо Браге Ио́ганн Ке́плер (нем. Johannes Kepler; 27 декабря 1571 года, Вайль-дер-Штадт — 15 ноября 1630 года, Регенсбург) — немецкий математик, астроном, механик, оптик и астролог, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы.

Иоганн Кеплер и Тихо Браге На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате тщательного анализа приходит к выводу, что траектория движения Марса представляет собой не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце — положение, известное сегодня как первый закон Кеплера. Дальнейший анализ привёл ко второму закону: радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, в равное время описывает равные площади. Это означало, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется. В 1618 году Кеплер открыл третий закон: отношение куба среднего удаления планеты от Солнца к квадрату периода обращения её вокруг Солнца есть величина постоянная для всех планет: a³/T² = const.

Законы Кеплера 1). Планеты Солнечной системы обращаются по эллипсу, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2). Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, «заметает» равные площади. 3). Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Нашей задачей будет вывод этих законов из закона всемирного тяготения.

Первый закон Кеплера - Доказательство 1). Выразим с помощью из . Получим: . 2). Из получим .

Первый закон Кеплера - Доказательство 3). Исключим из этих уравнений dt. Получим:   .   4). Проинтегрируем это выражение   .   5). Выбором начала отсчета сделаем const = 0.

Первый закон Кеплера - Доказательство 6) Введем обозначения: 7). Получим траекторию движения   .

Первый закон Кеплера - Доказательство В аналитической геометрии доказывается, что уравнение описывает конические сечения, т.е. кривые, по которым поверхность круглого конуса пересекается плоскостью). Величины p и e называются параметром и экцентриситетом орбиты. В зависимости от величины e получаются следующие кривые:

Первый закон Кеплера e = 0. В этом случае получается круг. Энергия в этом случае равна минимуму эффективного потенциала. e < 1 – получается эллипс, что, собственно доказывает первый закон Кеплера. Энергия в этом случае меньше нуля, движение финитно. e = 1 – это парабола (E = 0) e > 0 – это гипербола. В двух последних случаях движение инфинитно.   Эти рассуждения доказывают первый закон Кеплера.

Первый закон Кеплера Пример эллиптической орбиты выражения для большой (a) и малой (b) полуосей эллипса:   .  Демонстрация движения планеты matdemo\ini.m

Второй закон Кеплера Второй закон Кеплера является прямым следствием закона сохранения импульса.   где S – площадь. Секториальная скорость не зависит от времени, что доказывает второй закон Кеплера.  ,   где T – период обращения планеты.

Третий закон Кеплера Площадь эллипса равна   .   Откуда     откуда непосредственно следует третий закон Кеплера.

Космические скорости Изложенная в предыдущем разделе теория движения планет полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (с выключенными двигателями). Сопротивление воздуха мы не будем учитывать, предполагая, что движение происходит в достаточно разреженной атмосфере. Кроме того, при движении вблизи Земли мы будем пренебрегать силами притяжения Солнца, Луны и планет. Массу Земли будем обозначать M, массу искусственного спутника m.

Первая космическая скорость Первой космической скоростью называют скорость искусственного спутника на круговой орбите вблизи Земли. В случае круговой орбиты гравитационная сила должна быть равна центростремительной:  .  Ускорение свободного падения   Период обращения вокруг Земли T равен

Геостационарный спутник Период обращения равен одним суткам. Радиус орбиты такого спутника и его скорость: Вычитая экваториальный радиус Земли 6378 км, получим расстояние от спутника до поверхности Земли: 35786 км. Скорость спутника на орбите найдем по формуле:     Длина орбиты равна:

Геостационарный спутник Связь через геостационарные спутники характеризуется большими задержками в распространении сигнала. При высоте орбиты 35786 км и скорости света около 300000 км/с ход луча «Земля-спутник» требует около 0,12 с. Ход луча «Земля (передатчик) → спутник → Земля (приемник)» ≈0,24 с. Ping (ответ) составит полсекунды (точнее 0,48 с). С учетом задержки сигнала в аппаратуре ИСЗ и аппаратуре наземных служб общая задержка сигнала на маршруте «Земля → спутник → Земля» может достигать 2—4 секунд. Такая задержка делает невозможной применение спутниковой связи с использованием ГСО в различных сервисах реального времени (например в онлайн-играх).

Геостационарный спутник Так как геостационарная орбита не видна с высоких широт (приблизительно от 81° до полюсов), а на широтах выше 75° наблюдается очень низко над горизонтом (в реальных условиях спутники просто скрываются выступающими объектами и рельефом местности) и виден лишь небольшой участок орбиты, то невозможна связь и телетрансляция с использованием ГСО в высокоширотных районах Крайнего Севера (Арктики) и Антарктиды. К примеру, американские полярники на станции Амундсен-Скотт для связи с внешним миром (телефония, интернет) используют оптоволоконный кабель длиной 1670 километров до расположенной на 75° ю.ш. французской станции Конкордия, с которой уже видно несколько американских геостационарных спутников

Вторая космическая скорость Второй космической скоростью называют скорость, которую необходимо сообщить ракете, чтобы она никогда не вернулась на Землю. Минимальное значение энергии E, при котором движение становится инфинитным, равно нулю. Скорость, которую нужно сообщить ракете, найдем из уравнения  

Вторая космическая скорость Для второй космической скорости получаем:     Если скорость ракеты у поверхности Земли то скорость на бесконечности (r >> R) находится из   .   или   .

Третья космическая скорость Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить ракете, чтобы она навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбитального движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны. Орбитальная скорость Земли равна:  .  Здесь – масса Солнца, - радиус орбиты Земли. Для полета в бесконечность с орбиты Земли нужна вторая «солнечная» космическая скорость:    Дополнительно к скорости Земли ракете нужно сообщить скорость, равную 42 – 30 = 12 км/с. Ракета при старте с Земли должна набрать скорость  .

Задача 1 Оценить, с какой минимальной скоростью нужно стартовать с поверхности Луны, чтобы вернуться на Землю. Ускорение свободного падения на Луне равно g/6, скорость движения Луны по орбите 1 км/с, радиус Луны 1740 км.

Задача 1 - решение После выхода из поля тяготения Луны корабль должен перейти на эллиптическую орбиту вокруг Земли, у которой высота перигея равна радиусу Земли RЗ, а высота апогея равна расстоянию Земля-Луна RЗ-Л

Задача 1 - решение Момент импульса в апогее и перигее одинаков: . Так как орбита сильно вытянута, то и скорость в апогее должна быть равна   .

Задача 1 - решение Луна движется по орбите со скоростью 1 км/с, т. е. для возврата на Землю нужно преодолеть поле тяготения Луны и двигаться относительно Луны со скоростью Vотн =0,8 км/с в направлении, противоположном ее орбитальной скорости. Для Луны вторая космическая скорость   ,

Задача 1 - решение Стартовая скорость с поверхности Луны   .

Неинерциальные системы отсчета. Неинерциальные силы До сих пор мы рассматривали движение тел относительно инерциальных систем отсчета, в которых справедливы Законы Ньютона. Но Земля, например, является неинерциальной вращающейся системой. Вследствие этого на ее поверхности возникают явления, требующие для своего понимания изучение закономерностей движения тел в движущихся с ускорением системах. Проанализируем эти закономерности.

Поступательное движение В нерелятивистском случае справедливо преобразование Галилея     Отсюда получаем закон движения в системе S’     Вследствие этого получаем   .

Поступательное движение Eсли движение рассматривается относительно системы отсчета, ускоренно движущейся относительно инерциальной системы отсчета, то во втором законе Ньютона, кроме реальной силы, появляется дополнительное слагаемое - ma0. Это сила, имеющая чисто кинематическое происхождение, пропорциональная массе тел (как и гравитационная сила). Такие силы называют силами инерции. Они появляются в неинерциальных системах отсчета.

Поступательное движение Пример: тележка, движущуюся с ускорением а0, на которой стоит подставка с висящим на нитке грузиком. Найдем угол отклонения грузика от вертикали и частоту колебаний этого маятника

Поступательное движение Второй закон Ньютона в связанной с тележкой системе откуда получаем:  . В системе тележки действует ускорение:    В таком случае по аналогии с колебаниями в инерциальной системе  .

Центробежная сила Чтобы объяснить неподвижность тела в системе вращающегося диска нужно объявить, что кроме реальной силы (например, натяжение веревки, связывающей тело с осью вращения) в необходимо ввести силу инерции     направленную от центра. Ее называют центробежной силой. Эта сила уравновешивает натяжение веревки, и тело остается неподвижным относительно вращающегося диска. Такой силы нет в инерциальной лабораторной системе, ее вводят только при рассмотрении движения во вращающейся системе отсчета.

Центробежная сила Вследствие вращения Земли вокруг своей оси связанные с Землёй системы отсчёта не являются инерциальными. В точке, находящейся на расстоянии a от оси вращения, центробежное ускорение равно ω2a, где ω — угловая скорость вращения Земли, определяемая выражением ω = 2π/T, в котором Т — время одного оборота (звёздные сутки), равное для Земли 86164,1 секунды. Центробежное ускорение направлено от оси вращения. Можно подсчитать, что на Земле оно меняется от 0 на полюсах до 3,4 см/с2 на экваторе, причём почти везде (кроме экватора) оно не сонаправлено с гравитационным ускорением, которое направлено к центру Земли.

Сила Кориолиса Рассмотрим движение тела вдоль спицы вращающего колеса. Момент инерции тела L = mr2 увеличивается при движении от центра. Изменение момента импульса за единицу времени равно моменту сил    откуда   Это сила, с которой спица действует на тело, сопротивляясь силе Кориолиса. Поскольку сила Кориолиса перпендикулярна угловой скорости и скорости тела, то в векторном виде ее можно записать как  .

Сила Кориолиса Сила Кориолиса проявляется в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы. В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов в Северном полушарии вращение воздушных масс происходит в циклонах против часовой стрелки, а в антициклонах по часовой стрелке; в Южном— наоборот: по часовой стрелке в циклонах и против — в антициклонах. Отклонение ветров (пассатов) при циркуляции атмосферы— также проявление силы Кориолиса.

Задача 2 Тело свободно падает с высоты 500 м на землю. Принимая во внимание вращение Земли и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится тело при падении. Географическая широта места 60.

Задача 2 - решение При угловой скорости вращения Земли =7,310-5 рад/с и максимальной скорости падения ускорение Кориолиса     т. е. можно считать, что в вертикальном направлении тело движется с ускорением g, а под действием силы Кориолиса отклоняется к востоку.

Задача 2 - решение Направив в системе Земли ось y к востоку, найдем ускорение для широты  = 60.     (здесь использована зависимость ). Интегрируя, найдем, что за время падения тело отклонится к востоку на  

До следующей лекции