Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Функция y = cos x
Ее свойства и график
Слайд 2
Описание слайда:
Сегодня мы рассмотрим
Построение графика функции y = cos x;
Свойства функции y = cos x;
Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента;
Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента;
Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.
Слайд 3
Описание слайда:
Построение графика
Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок -1; 1. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.
Слайд 4
Описание слайда:
Как использовать периодичность и четность при построении
Так как функция периодическая с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2, например на отрезке - х ; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2n, nZ, график будет таким – же.
Слайд 5
Описание слайда:
Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0; и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY.
Слайд 6
Описание слайда:
Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2, 4 и т.д. вправо, на -2, -4 и т.д. влево, т.е. вообще на 2n, nZ.
Слайд 7
Описание слайда:
Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке 0; . Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке 0; . Например, функция y = cos x возрастает на отрезке -; 0, так как она убывает на отрезке 0; и является четной.
Перечислим основные свойства функции y = cos x.
Слайд 8
Описание слайда:
Для этого нужно вспомнить
Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций;
Какие функции называются периодическими и как найти период функции;
Какие функции называются четными (нечетными);
Когда функция возрастает (убывает);
Как найти нули функции;
Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения;
Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.
Слайд 9
Описание слайда:
Область определения
Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки 1; 0 на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x.
Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.
Слайд 10
Описание слайда:
Множество значений
Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a| 1, и не имеет корней, если |a| > 1.
Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1 у 1.
Слайд 11
Описание слайда:
Периодичность
Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом функции.
Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2)=sin x, cos(x + 2)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2. Такие функции называются периодическими с периодом 2.
Слайд 12
Описание слайда:
Четность, нечетность
Функция y = f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ординат.
Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат.
Слайд 13
Описание слайда:
Возрастание, убывание
Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2 (x1 < x2).
Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2 (x1 > x2).
Слайд 14
Описание слайда:
Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольшее значения.
Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные:
нулю;
положительные;
отрицательные;
наименьшее;
наибольшее,
Слайд 15
Описание слайда:
Свойства функции y = cos x
Область определения: D(f): х R;
Множество значений: у [-1;1];
Периодичность: Т = 2;
Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат;
Функция возрастает при: +2n x 2(n+1), nZ;
Функция убывает при: n x + 2n, n Z.
Слайд 16
Описание слайда:
Свойства функции y = cos x (продолжение)
Функция принимает значения:
Равные нулю при х=/2+n, nZ;
Положительные при -/2+2n x /2+2n, nZ;
Отрицательные при /2+2n x 3/2+2n, nZ;
Наибольшее, равное 1, при x = 2n, n Z;
Наименьшее, равное –1, при x = + 2n, n Z.
Слайд 17
Описание слайда:
Преобразование графика функции y = cos x
Изменение функции
y = cos x + A
y = k · cos x
y = - cos x
y = cos x
Слайд 18
Описание слайда:
y = cos x + A
Параллельный перенос графика функции у = соs x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А > 0 и на А единиц вниз, если А < 0.
Например: y = cos x + 2; y = cos x – 1.
Слайд 19
Описание слайда:
y = cos x + A (свойства)
Изменяются множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.
Например: y = cos x + 2.
E (f): cos x + 2 = a cos x = a – 2, т.к. – 1 y 1, то –1 а – 2 1 1 а 3, т.е. y 1; 3.
Нули функции: cos x + 2 = 0 cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2| 1 график данной функции не пересекает ось абсцисс.
f (x) > 0: при любом значении х.
f (x) < 0: нет.
y (наиб) = 3, при: x = 2n, n Z (т.к. cos x + 2 = 3 cos x = 1 x = 2n, n Z).
y (наим) = 1, при: x = + 2n, n Z (т.к. cos x + 2 = 1 cos x = - 1 x = + 2n, n Z).
Слайд 20
Описание слайда:
y = k · cos x
Растяжение графика функции у = соs x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k > 0 и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Например: y = 3 • cos x; y = 0,5 • cos x.
Слайд 21
Описание слайда:
y = k · cos x (свойства)
Изменяется множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения.
Например: y = 3 • cos x
E (f): 3•cos x = a cos x = a/3, т.к. – 1 y 1, то - 1 a/3 1 - 3 a 3, т.е. y -3; 3.
Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x = 2n, n Z (т.к. 3cos x = 3 cos x = 1 x = 2n, n Z).
Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x = + 2n, n Z (т.к. 3cos x = - 3 cos x = - 1 x = + 2n, n Z).
Слайд 22
Описание слайда:
y = - cos x
Симметричное отражение графика функции y = cos x относительно оси абсцисс.
Слайд 23
Описание слайда:
y = - cos x (свойства)
Изменяются промежутки возрастания (убывания); промежутки положительных (отрицательных) значений.
Функция возрастает на отрезке 0; и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3…
Функция убывает на отрезке ; 2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3…
Функция принимает положительные значения на интервале (/2; 3/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n = 1, 2…
Функция принимает отрицательные значения на интервале (- /2; /2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n = 1, 2…
Слайд 24
Описание слайда:
y = | cos x |
Часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.
Слайд 25
Описание слайда:
y = |cos x| (свойства)
Изменяются: множество значений функции; период; промежутки возрастания (убывания); наибольшее (наименьшее) значение.
E (f): y [ 0; 1]
Периодичность: Т =
Функция возрастает на промежутке (/2; )+ сдвиги на n, nZ
Функция убывает на промежутке (0; /2) + сдвиги на n, nZ
f (x) > 0: при любом значении х
f (x) < 0: нет
y (наиб) = 1, при х = 2n, nZ
y (наим) = 0, при х = /2 + n, nZ
Слайд 26
Описание слайда:
y = cos (x – a)
Параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на а единиц вправо, если а > 0, на а единиц влево, если а < 0.
Например: y = cos ( x - /2 ); y = cos ( x +/4 ).
Слайд 27
Описание слайда:
y = cos (x – a) (свойства)
Изменяются: четность; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.
Например: y = cos (x + /4)
Четность: f (x) f (-x) -f (x), т.к. cos (-(x + /4)) = cos (-x - /4)
Функция возрастает на [ 3/4; 11/4] + сдвиги на 2n, nZ
Функция убывает на [-/4; 3/4 ]+ сдвиги на 2n, nZ
f (x) =0 при х = /4 +n, nZ
f (x) > 0 при х (-3/4; /4) + сдвиги на 2n, nZ
f( (x) <0 при х (/4; 5/4) + сдвиги на 2n, nZ
Слайд 28
Описание слайда:
y = cos ( k · x )
Сжатие графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс относительно оси ординат в k раз, если k > 1 , и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Например: y = cos 3x; y = cos 0,5x.
Слайд 29
Описание слайда:
y = cos ( k · x ) (свойства)
Изменяются: период; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.
Например: y = cos 3x
Период: Т = 2/3, (т.к. наименьший положительный период функции y = cos x равен 2, то 3Т = 2 Т = 2/3).
Функция возрастает на /3; 2/3 + сдвиги на 2n/3, nZ.
Функция убывает на 0; /3 + сдвиги на 2n/3, nZ.
f (x) = 0 при х = /6 + n/3.
f (x) > 0 при х (-/6; /6) + сдвиги на 2n/3, n Z.
f (x) < 0 при х (/6; /2) + сдвиги на 2n/3, n Z.
Слайд 30
Описание слайда:
y = cos ( - x )
Симметричное отражение относительно оси абсцисс.
Слайд 31
Описание слайда:
y = cos (-x) (свойства)
В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos (-x) = cos (x) все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos (-x)
Слайд 32
Описание слайда:
y = cos | x |
Часть графика, расположенная в области х 0, остается без изменения, а его часть для области х 0 заменяется симметричным отображением относительно оси ординат части графика для х 0.
Слайд 33
Описание слайда:
y = cos|x| (свойства)
В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos |x| = cos (-x) = cos (x) все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos |x|
Слайд 34
Описание слайда:
y = 3 · cos x – 2
Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный перенос графика y = 3•cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз).
Слайд 35
Описание слайда:
Свойства функции y = 3 · cos x – 2
Область определения: D(f): х R;
Множество значений: y [- 5; 1], т.к. –1 cos x 1 - 3 3cos x 3 - 5 3cos x – 2 1;
Периодичность: Т = 2;
Четность: четная, т.к. 3сos (-x) –2 = 3cos x – 2 график функции симметричен относительно оси OY;
Возрастает: на отрезке [; 2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2; 3…;
Убывает: на отрезке [0; и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3…
Слайд 36
Описание слайда:
y = 3 – 2 · cos (x + /2)
Построим график функции y = cos x;
Построим график функции y = cos (x + /2)(параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на /2 единиц влево);
Построим график функции y = 2cos(x + /2)(растяжение графика функции y = cos(x + /2) вдоль оси OY в 2 раза);
Построим график функции y = - 2cos(x + /2)(симметричное отражение графика функции y = 2cos (x + /2) относительно оси OX);
Построим график функции y = 3 – 2cos (x + /2) (параллельный перенос графика функции y = - 2cos (x + /2) вдоль оси OY на 3 единицы вверх).
Слайд 37
Описание слайда:
Свойства функции y = 3 – 2 · cos (x + /2)
Область определения: D(f): x R;
Множество значений: y 1; 5, т.к. –1 cos (x + /2) 1
–2 2cos (x + /2) 2 1 3 – 2cos (x + /2) 5;
Периодичность: Т = 2;
Четность: ни четная, ни нечетная, т.к. у(-х) у(х) -у (х) (график не симметричен ни оси OY, ни началу координат )
Возрастает: на 3/2; 5/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3…
Убывает: на /2; 3/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3…
Функция принимает значения равные:
нулю: нет (уравнение 3 – 2cos( x + /2) = 0 не имеет корней т.к.|- 3/2| > 1);
положительные: при любом х;
наибольшее, равное 5: при x = /2 + 2n, n Z.
наименьшее, равное 1: при х = - /2 + 2n, n Z.
Презентацию на
тему Функция y = cos x. Ее свойства и график можно скачать бесплатно ниже: