Геометрия в 3D-пространстве - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Геометрия в 3D-пространстве. Доклад-сообщение содержит 59 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ГЕОМЕТРИЯ В 3D-ПРОСТРАНСТВЕ ЛЕКЦИЯ 5

Слайд 2

Описание слайда:

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ В трехмерном пространстве положение каждой точки задается набором из 3 вещественных чисел – координат точки Так же, как и в двумерном случае, самыми распространенными являются декартова и полярная системы координат Декартовы координаты точки x, y, z – это проекции точки на оси абсцисс (OX), ординат (OY) и аппликат (OZ)

Слайд 3

Описание слайда:

ДЕКАРТОВА СК

Слайд 4

Описание слайда:

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Сферические координаты являются обобщением полярных координат на случай трехмерного пространства, получаемого путем добавления еще одного координатного угла Сферические координаты точки r, θ, φ проще всего ввести, используя декартову систему координат В этом случае они имеют следующий смысл: r – длина радиус-вектора точки (расстояние до нее от начала координат), θ – полярный угол (угол, образованный радиус-вектором точки с осью OZ), φ – азимутальный угол (угол, образованный проекцией радиус-вектора точки на плоскость XOY с осью OX)

Слайд 5

Описание слайда:

СФЕРИЧЕСКАЯ СК

Слайд 6

Описание слайда:

ВЗАИМОСВЯЗЬ ДЕКАРТОВЫХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧКИ

Слайд 7

Описание слайда:

ОБЪЕКТЫ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ Для описания объектов конечных размеров с объектом, как и в двумерном случае, связывают объектную систему координат Как правило, объектная система координат выбирается так, чтобы объект в ней описывался наиболее простым образом В частности, при наличии у объекта оси симметрии с ней совмещают одну из координатных осей

Слайд 8

Описание слайда:

ОРИЕНТАЦИЯ ОБЪЕКТА В ПРОСТРАНСТВЕ Ориентация объекта в пространстве определяется ориентацией осей объектной системы координат относительно осей мировой СК В отличие от случая плоского двумерного пространства в трехмерном пространстве ориентация объектной системы координат относительно мировой системы задается тремя углами, выбор которых может быть сделан по-разному

Слайд 9

Описание слайда:

ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Наиболее часто используется способ, предложенный в 1748 году Леонардом Эйлером, а соответствующий набор углов называют эйлеровыми углами Эйлеровы углы можно рассматривать как углы трех последовательных поворотов, в результате которых оси X’,Y’,Z’ одной декартовой системы координат (объектной) становятся параллельными осям X,Y,Z другой декартовой системы координат (мировой)

Слайд 10

Описание слайда:

ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ Согласно Эйлеру для этого необходимо выполнить следующую последовательность поворотов поворот вокруг оси Z’ на угол , называемый углом прецессии, такой, чтобы ось абсцисс ОСК совпала с нормалью к плоскости ZZ’; оси абсцисс и ординат переходят в положения X’’ и Y’’, соответственно, причем X’’ оказывается в плоскости XOY, перпендикулярной оси Z

Слайд 11

Описание слайда:

ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ поворот вокруг оси X’’ на угол , называемый углом нутации, такой, чтобы ось Z’ совпала с осью Z; при этом ось ординат ОСК также оказывается в плоскости XOY и занимает положение Y’’’ поворот вокруг оси Z на угол , называемый углом собственного вращения, такой, что оси абсцисс и ординат совпали с осями X и Y, соответственно

Слайд 12

Описание слайда:

ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Слайд 13

Описание слайда:

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Преобразование координат Матрица поворота

Слайд 14

Описание слайда:

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЙЛЕРОВЫХ УГЛОВ Эйлеровы углы традиционно используются в механике для задания ориентации твердого тела в трехмерном пространстве Однако это сопряжено с определенным неудобством, связанным с вращением вокруг промежуточного положения одной из осей В компьютерной графике применяют аффинные преобразования координат, избавленные от этого недостатка

Слайд 15

Описание слайда:

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В трехмерном пространстве (3D) положение точки может быть задано в однородных координатах p(x, y, z, 1) Любое аффинное преобразование в 3D-пространстве также как и в пространстве двумерном можно представить в виде суперпозиции операций поворота, растяжения, отражения и переноса

Слайд 16

Описание слайда:

МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ Вращение на угол φ вокруг оси абсцисс:

Слайд 17

Описание слайда:

МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ Вращение на угол ψ вокруг оси ординат:

Слайд 18

Описание слайда:

МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ Вращение на угол χ вокруг оси аппликат :

Слайд 19

Описание слайда:

ПРОЧИЕ МАТРИЦЫ Матрицы растяжения/сжатия, матрицы отражения относительно координатных плоскостей и матрица перемещения легко могут быть построены по аналогии с 2D-пространством

Слайд 20

Описание слайда:

ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Так же, как и при использовании эйлеровых углов, совмещение осей объектной системы координат с осями мировой системы координат достигается тремя поворотами Для совмещения оси OZ’ с осью OZ необходимо выполнить два поворота Поворот на некоторый угол φ вокруг оси OX до совмещения оси OZ’ с плоскостью XOZ; при этом оси OZ и OZ’ оказываются лежащими в одной плоскости

Слайд 21

Описание слайда:

ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Математически такой поворот описывается следующей матричной операцией: (x’’, y’’, z’’, 1) = (x’, y’, z’, 1) * Rx(φ) Поворот на некоторый угол ψ вокруг оси OY до совмещения оси OZ’ с осью OZ; при этом плоскость X’’OY’’ совмещается с плоскостью XOY: (x’’’, y’’’, z, 1) = (x’’, y’’, z’’, 1) * Ry(ψ)

Слайд 22

Описание слайда:

ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Последний поворот выполняется на некоторый угол χ вокруг оси OZ до совмещения осей OX’’’ и OY’’’ с осями OX и OY, соответственно: (x, y, z, 1) = (x’’’, y’’’, z, 1) * Rz(χ) Таким образом, имеем: (x, y, z, 1) = (x’, y’, z’, 1) * R(φ, ψ, χ), где R(φ, ψ, χ) = Rx(φ) * Ry(ψ) * Rz(χ)

Слайд 23

Описание слайда:

МАТРИЦА ПОВОРОТА Полная матрица поворота, полученная перемножением трех матриц имеет вид:

Слайд 24

Описание слайда:

АЛГОРИТМЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Слайд 25

Описание слайда:

ЗАДАЧА ПРОЕЦИРОВАНИЯ Отображение некоторого множества точек S пространства Rn на другое пространство Rm той же или меньшей размерности называется проецированием S на Rm, а полученный образ - проекцией S Частным случаем проецирования является изображение трехмерного объекта на плоскости.

Слайд 26

Описание слайда:

ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ Для построения проекции выбирается некоторая точка – центр проецирования – и плоскость проецирования или картинная плоскость Из центра проецирования через каждую точку P изображаемого объекта проводится луч, пересечение которого с картинной плоскостью является проекцией P' этой точки на плоскость

Слайд 27

Описание слайда:

ВИДЫ ПРОЕКЦИЙ Если в качестве центра проецирования выбирается собственная точка пространства R3, то проекция называется центральной (перспективной), а проецирующий пучок лучей является расходящимся. Если же центром проецирования является несобственная точка, лучи проецирующего пучка параллельны и проекция называется параллельной.

Слайд 28

Описание слайда:

ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ В зависимости от расположения картинной плоскости и координатных осей параллельные проекции делятся на ортографические, аксонометрические, косоугольные.

Слайд 29

Описание слайда:

ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проецирования вдоль оси X на плоскость YOZ имеет вид:

Слайд 30

Описание слайда:

ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В случае, если картинная плоскость параллельна плоскости YOZ, матрица проецирования умножается на матрицу параллельного сдвига вдоль оси X.

Слайд 31

Описание слайда:

ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Аналогичным образом могут быть получены матрицы проецирования вдоль двух других координатных осей:

Слайд 32

Описание слайда:

ВЫРОЖДЕННОСТЬ МАТРИЦ Матрицы проецирования являются вырожденными, т.е. проецирование является необратимой операцией Это отражает тот очевидный факт, что любое проецирование связано с потерей части информации об объекте, так что полное восстановление объекта по его единственной проекции невозможно

Слайд 33

Описание слайда:

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ При аксонометрической проекции проектирующие прямые также перпендикулярны картинной плоскости, однако сама картинная плоскость ориентирована в пространстве произвольным образом Ориентация картинной плоскости задается вектором нормали к этой плоскости

Слайд 34

Описание слайда:

АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Слайд 35

Описание слайда:

ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ В соответствии со взаимным расположением картинной плоскости и координатных осей различают три вида аксонометрических проекций: триметрическая проекция –вектор нормали к картинной плоскости образует с осями координат попарно различные углы; диметрическая проекция – два из трех указанных углов равны; изометрическая проекция – все углы равны.

Слайд 36

Описание слайда:

ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ Любая аксонометрическая проекция может быть получена комбинацией поворота до совмещения нормали к картинной плоскости с одной из координатных осей и последующего ортографического проецирования: M = R * P Для совмещения произвольного вектора с координатной осью в пространстве требуется выполнить два поворота

Слайд 37

Описание слайда:

ВЫБОР ПЛОСКОСТИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ В дальнейшем мы будем рассматривать фронтальные проекции объектов, то есть в качестве картинной плоскости выбирать плоскость XOY мировой системы координат Соответственно, перед выполнением фронтального проецирования потребуется совместить вектор нормали к картинной плоскости с осью OZ мировой системы координат

Слайд 38

Описание слайда:

ВЫБОР УГЛОВ ПОВОРОТА

Слайд 39

Описание слайда:

МАТРИЦА ПОВОРОТА Совмещение вектора нормали к картинной плоскости с осью OZ мировой системы координат достигается выполнением двух последовательных поворотов: R = Ry(Ψ) * Rx(φ)

Слайд 40

Описание слайда:

ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ После перемножения матриц Ry(Ψ) и Rx(φ), а также последующего проецирования вдоль оси Z матрица преобразования примет вид:

Слайд 41

Описание слайда:

ТРИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ При таком проецировании единичные орты координатных осей преобразуются следующим образом: ex*M=(1 0 0 1)*M=(cosψ, sinφ *sin ψ, 0, 1) ey*M=(0 1 0 1)*M=(0, cosφ, 0, 1) ez*M=(0 0 1 1)*M=(sinψ, -sinφ *sin ψ, 0, 1)

Слайд 42

Описание слайда:

ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Равенство углов между нормалью к картинной плоскости и двумя координатными осями означает равенство проекций соответствующих ортов Например, равенство углов нормали с осями абсцисс и ординат означает, что: cos2 ψ + sin2 φ * sin2 ψ = cos2 φ

Слайд 43

Описание слайда:

ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Отсюда следует, что sin2 ψ = tg2 φ Теперь углы поворота вокруг осей ординат и абсцисс уже не являются независимыми и задание одного из них определяет возможные значения другого угла Так, для ψ=π/4 угол φ может иметь значения, равные ± arctg (√1/2)

Слайд 44

Описание слайда:

ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Аналогичным образом могут быть рассмотрены две другие диметрические проекции, соответствующие другим возможным выборам пар равных углов Вводится понятие стандартной диметрической проекции, при которой длины проекций единичных ортов на картинную плоскость находятся в отношении 2 : 2 : 1

Слайд 45

Описание слайда:

СТАНДАРТНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Тогда из условий sin2 ψ = tg2 φ и cos2 φ = 4*(sin2 ψ + sin2 φ * cos2 ψ) получим tg2 φ = 1/8, что приблизительно соответствует углам φ = ± 19,5° и ψ = ± 20,7°

Слайд 46

Описание слайда:

СТАНДАРТНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ В случае, когда единичный вектор нормали к картинной плоскости лежит в 1-м октанте, φ > 0 и ψ < 0 и матрица диметрического проецирования равна:

Слайд 47

Описание слайда:

ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ В этом случае все три проекции единичных ортов равны между собой, что приводит к равенствам: cos2 ψ + sin2 φ * sin2 ψ = cos2 φ sin2 ψ + sin2 φ * cos2 ψ = cos2 φ Откуда следует, что sin2 φ = 1/3, sin2 ψ = 1/2.

Слайд 48

Описание слайда:

СТАНДАРТНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Соответствует выбору ψ = π/4 В этом случае матрица проецирования принимает вид:

Слайд 49

Описание слайда:

КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ При косоугольном проецировании пучок проецирующих лучей не перпендикулярен картинной плоскости. Косоугольные проекции сочетают в себе свойства ортографических и аксонометрических проекций. При косоугольном проектировании орта ez на плоскость XY имеем: (0, 0, 1, 1)(α, β, 0, 1)

Слайд 50

Описание слайда:

КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Матрица соответствующего преобразования имеет вид:

Слайд 51

Описание слайда:

ВИДЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ Выделяют два вида косоугольных проекций: свободную, кабинетную. В случае свободной проекции угол наклона проецирующего пучка к картинной плоскости равен π/4 и, соответственно α = β = cos π/4.

Слайд 52

Описание слайда:

ВИДЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ Кабинетная проекция является частным случаем свободной проекции – масштаб по оси Z вдвое меньше. Тогда α = β = 0,5*cos π/4.

Слайд 53

Описание слайда:

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Пусть центр проецирования – точка C с координатами (0, 0, c) на оси Z и картинная плоскость совпадает с координатной плоскостью XY. Тогда уравнение прямой, проходящей через точку C и произвольную точку M(x0,y0,z0) будет иметь вид: x=x0*t; y=y0*t; z=c+(z0-c)*t.

Слайд 54

Описание слайда:

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Эта прямая пересекается с картинной плоскостью в точке с координатами x0' = c*x0/(c-z0); y0'= c*y0/(c-z0); z0' = 0. Полученный результат соответствует преобразованию координат точки M с помощью матрицы

Слайд 55

Описание слайда:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ В случае, когда центр проецирования имеет координаты (cx, cy, cz), а картинная плоскость, по-прежнему, совпадает с координатной плоскостью XOY матрица проецирования имеет вид:

Слайд 56

Описание слайда:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ Аналогичным образом можно получить матрицы центрального проецирования на плоскость XOZ

Слайд 57

Описание слайда:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ и на плоскость YOZ

Слайд 58

Описание слайда:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ Центральной проекцией прямой также является прямая. Пусть p(t) = p0 + Vt При центральном проецировании точки c координатами (x, y, z, 1) этой прямой на плоскость XY получим: x´ = (x0-sxz0+(Vx-sxVz)t)/(1-sfz0-sfVzt), y ´ = (x0-syz0+(Vy-syVz)t)/(1-sfz0-sfVzt), z ´ = 0

Слайд 59

Описание слайда:

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ЦП В пределе при t   получим lim p´(t) =(cx-Vxcz/Vz, cy-Vycz/Vz, 0, 1) Это значит, что предельное положение (точка схода) прямой линии не зависит от положения точки p0, а определяется только положением центра проецирования C и направляющим вектором V Следовательно, пучок параллельных прямых проецируется в сходящийся пучок

Теги Геометрия в 3D-пространстве

Похожие презентации