🗊Вписанные шары - презентация по Геометрии

Историческая справка: Пифагор (580 до Р. X.), основал в Италии известную школу, носящую его имя. Пифагору принадлежат: замечание о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата, теорема о квадрате гипотенузы, свойство круга быть maximum между фигурами одного и того же периметра, аналогичное свойство шара и, наконец, первая теория правильных многогранников, игравшая большую роль в Космологии древних и средних веков.

Первый дошедший до нас полный трактат по Геометрии, представляющий собрание и систематизацию открытий греческих математиков, принадлежит знаменитому александрийскому геометру Эвклиду (285 до Р. X.). Это бессмертное сочинение носит название"Начала" (Elementa) и представляет полный курс так называемой элементарной Геометрии, имеющий, за весьма немногими исключениями, объем, в котором Геометрия входит в настоящее время в круг преподавания средних учебных заведений. Новинкой этого трактата является метода доказательства, состоящая в доказательстве абсурдности противоположного. В нем автор обнаруживает образцовую последовательность изложения и строгость доказательств. Первый дошедший до нас полный трактат по Геометрии, представляющий собрание и систематизацию открытий греческих математиков, принадлежит знаменитому александрийскому геометру Эвклиду (285 до Р. X.). Это бессмертное сочинение носит название"Начала" (Elementa) и представляет полный курс так называемой элементарной Геометрии, имеющий, за весьма немногими исключениями, объем, в котором Геометрия входит в настоящее время в круг преподавания средних учебных заведений. Новинкой этого трактата является метода доказательства, состоящая в доказательстве абсурдности противоположного. В нем автор обнаруживает образцовую последовательность изложения и строгость доказательств.

Понятие термина «сфера» и «шар». Определение 1. Сфера радиуса R есть множество точек пространства, удаленных от данной точки на положительное расстояние R. В координатном пространстве сфера с центром O(a;b;c) и радиусом R задается уравнением: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Сфера является фигурой вращения. При вращении полуокружности радиуса R вокруг её диаметра получается сфера радиуса R. Определение 2. Шар радиуса R есть геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки не более чем на расстояние R (R>0).

Комбинации шара с различными фигурами Пирамида и шар: Определение 1. Пирамида называется описанной около шара (сферы), если все её грани касаются поверхности шара - сферы. Теорема 1. Центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Теорема 2. Для того чтобы в пирамиду можно было вписать шар (сферу), необходимо и достаточно, чтобы биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекались в одной точке. Теорема 3. В любой тетраэдр (треугольную пирамиду) можно вписать шар (сферу). Теорема 4. В любую правильную пирамиду можно вписать шар (сферу). Теорема 5. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

Комбинация шара с другими телами. 1. Шар называется вписанным в многогранник, если поверхность шара касается всех граней многогранника. 2. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).

Комбинация шара с призмой: Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности. Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание. Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.

Комбинация шара с круглыми телами. Теорема 1. 1.В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.         2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Теорема 2. 1. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар. 2.Сфера называется вписанной в конус, если она касается образующих конуса и его основания.  3. В любой конус можно вписать сферу. Теорема 3. 1.В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований. 2.Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается всех образующих и обоих оснований конуса. 3.Очевидно справедливо утверждение: в усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда образующая усеченного конуса равна сумме радиусов оснований. Тогда диаметр сферы равен высоте усеченного конуса.

Шары Данделена. Данделен Жерминаль Пьер (12.04.1794 - 15.02.1847)

Задачи: 1. Условие. Найти объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным α.

Решение:

2. Условие: Боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Найти высоту конуса, если радиус шара равен .

Решение:

3) По условию задачи имеем уравнение 3) По условию задачи имеем уравнение

Использование знаний о вписанных шарах. Египетские пирамиды.

Вывод: В данной работе была рассмотрена тема «вписанные шары». В реферате представлены определения, теоремы и следствия из теорем о вписанных шарах и сферах. Также мы рассмотрели на предложенную тему некоторые задачи и методы их решения. Кроме того, мы познакомились с таким понятием, как шары Данделена. Узнали, о применении знаний о вписанных шарах.