🗊Презентация Lektsia_3_1

Скалярные и векторные величины Линейные операции над векторами Угол между векторами. Проекция вектора на ось Линейная комбинация векторов. Базис Прямоугольная декартова система координат Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме

Определение скалярной величины Определение скалярной величины Определение векторной величины Длина вектора Нулевой вектор Коллинеарность векторов. Компланарность векторов Равенство векторов Противоположный вектор. Единичный вектор

Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура и др. Скалярные величины обозначаются символами

Величина, определяемая заданием своего численного значения и направления, называется векторной величиной. Величина, определяемая заданием своего численного значения и направления, называется векторной величиной. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение и др. Векторные величины изображаются с помощью векторов - направленных отрезков.

Пусть точка A есть начало вектора, а точка B его конец, тогда этот вектор обозначается символом и изображается с помощью стрелки Пусть точка A есть начало вектора, а точка B его конец, тогда этот вектор обозначается символом и изображается с помощью стрелки

Вектор может быть обозначен также одним из символов Вектор может быть обозначен также одним из символов Расстояние между началом и концом вектора называется длиной вектора или его модулем. Модуль вектора обозначается символами

Вектор, начало которого Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым вектором и обозначается Нулевой вектор не имеет определенного направления и его

Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов записывается в виде

Вектор называется Вектор называется противоположным вектором для вектора , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с длину, но направлен в противоположную сторону. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается символом

Сложение векторов Сложение векторов Переместительный закон сложения векторов Сочетательный закон сложения векторов Разность векторов Умножение вектора на число Распределительный и сочетательный законы умножения вектора на число

Суммой векторов и Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма Сложение векторов подчиняется переместительному закону

Сложение векторов подчиняется сочетательному закону Сложение векторов подчиняется сочетательному закону

Разностью векторов и Разностью векторов и называется такой вектор , что . Для построения вектора по данным векторам и можно воспользоваться одним из способов, сущность которых пояснена на рисунках

Произведением вектора Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и то же направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если . Если , то .

Из определения умножения вектора на число следует, что если , то векторы и коллинеарны. Очевидно, что если и коллинеарные векторы, то . Из определения умножения вектора на число следует, что если , то векторы и коллинеарны. Очевидно, что если и коллинеарные векторы, то .

Следствие 2. Следствие 2. Противоположный вектор можно рассматривать как произведение вектора на , то есть Следствие 3. Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор , коллинеарный , направленный, как , имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что

Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам и сочетательному закону

Угол между векторами Угол между векторами Определение проекции вектора на ось Проекция суммы векторов на ось

Углом между векторами и называется наименьший угол Углом между векторами и называется наименьший угол на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым

Пусть в пространстве заданы вектор и ось Пусть в пространстве заданы вектор и ось Вектор - компонента вектора по оси . Проекцией вектора на ось называется длина его компоненты по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось ; противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления; нуль, если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде или .

Теорема Проекция вектора на ось равна модулю вектора , умноженному на косинус угла между вектором и осью: Теорема Проекция вектора на ось равна модулю вектора , умноженному на косинус угла между вектором и осью:

Теорема. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось: Теорема. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось: Теорема. Если вектор умножить на число , то его проекция на ось умножится на это число:

Линейная комбинация векторов Линейная комбинация векторов Линейная зависимость и независимость векторов Определение базиса пространства Базис пространства Разложение вектора по базисным вектрам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть заданы векторы ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть заданы векторы и числа . Выражение называется линейной комбинацией векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если равенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если равенство возможно только при всех , равных нулю, то векторы называются линейно-независимыми. Если же это равенство справедливо не при всех , где , то векторы называются линейно-зависимыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства , называется базисом этого пространства. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Базисом на прямой (пространство ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на прямой (пространство ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространство ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство ) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.

Представление вектора в форме Представление вектора в форме называется разложением этого вектора по базисным векторам. Числа разложения называются координатами вектора по базису . Этот факт записывается в виде . Векторы называется компонентами вектора по базисным векторам .

Определение прямоугольной декартовой системы координат Определение прямоугольной декартовой системы координат Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть в пространстве векторы образуют базис этого пространства. Выберем в произвольную точку и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки и трех базисных векторов называется системой координат в пространстве . Совокупность точки и базисных векторов называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве . ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть в пространстве векторы образуют базис этого пространства. Выберем в произвольную точку и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки и трех базисных векторов называется системой координат в пространстве . Совокупность точки и базисных векторов называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве .

Координаты точки записываются в форме Пусть вектор задан в координатной форме Так как этот вектор совпадает с диагональю пря­моугольного параллелепипеда, то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно, Координаты точки записываются в форме Пусть вектор задан в координатной форме Так как этот вектор совпадает с диагональю пря­моугольного параллелепипеда, то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Косинусы углов , определяемые ОПРЕДЕЛЕНИЕ Косинусы углов , определяемые называются направляющими косинусами вектора . Нетрудно проверить, что направляющие косинусы связаны между собой соот­ношением

Действия на векторами, заданными в координатной форме Действия на векторами, заданными в координатной форме Условие коллинеарности двух векторов Задача определения расстояния между двумя точками Деление отрезка в данном отношении

Пусть векторы и заданы в координатной форме: Пусть векторы и заданы в координатной форме: Непосредственно из теорем о проекциях векторов на ось и определения координат вектора вытекают правила: , где

ПРИМЕР ПРИМЕР Установить условие коллинеарности векторов Решение. Так как векторы коллинеарны, то , где некоторое число. Имеем

Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки Так как длина вектора равна расстоянию между точками и , то