🗊Презентация Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Лекция 2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями.

Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Числовая последовательность {n} называется бесконечно малой, если ПРИМЕР 1. Покажем, что n =1/n – бесконечно малая. Возьмем >0. Решив относительно n неравенство  n = 1/n < , получим: n > 1/. Возьмем N() = [1/] + 1. Тогда n  N()   n < .

Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если В этом случае пишут ПРИМЕР 2. Покажем, что xn = (- 1)nn – бесконечно большая. Возьмем  > 0. Решив относительно n неравенство  хn = n >  и взяв N() = [] + 1, получим: n  N()   хn > .

Аналогично определяются пределы, равные  . Аналогично определяются пределы, равные  . ЗАМЕЧАНИЕ. Запись носит условный характер. На самом деле предела здесь нет!

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. ТЕОРЕМА 1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Доказательство. Пусть {n} и {n} – бесконечно малые. Покажем, что {n  n } – бесконечно малая. Возьмем  >0. Тогда, согласно определению бесконечно малой, для 1 =  /2  N1( /2)N : n  N1  n <  /2,  N2( /2)N : n  N2  n <  /2. Возьмем N() = max{N1, N2}. Тогда, воспользовавшись свойством модуля вещественного числа, для всех n  N имеем оценку: n  n  n  + n <  /2 +  /2 = , т.е. {n  n } – бесконечно малая.

СЛЕДСТВИЕ. СЛЕДСТВИЕ. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая. ЗАМЕЧАНИЕ. Последнее утверждение неверно, если число слагаемых растет с ростом n. Например бесконечно малые, а их сумма т.е. в данном случае сумма не стремится к нулю при n  .

ТЕОРЕМА 2. ТЕОРЕМА 2. Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая. Доказательство. Пусть {n} – бесконечно малая, {xn} – ограниченная. Покажем, что {n·xn} – бесконечно малая. Пусть С > 0 : хn  С n. Возьмем  > 0. Тогда, согласно определению бесконечно малой последовательности, для 1 =  / С  N( /С)N : n  N( /С)  n < /С. Воспользовавшись свойством модуля вещественного числа, для всех n  N имеем оценку: n·xn n ·хn < ( / С)·С = , т.е. {n·xn} – бесконечно малая. СЛЕДСТВИЕ. Произведение конечного числа числовых последовательностей, из которых хотя бы одна бесконечно малая, а остальные ограниченные, есть бесконечно малая.

ТЕОРЕМА 3. ТЕОРЕМА 3. Числовая последовательность {xn}, где xn  0 n является бесконечно малой тогда и только тогда, когда {1/xn}– бесконечно большая. Доказательство. Пусть {xn} – бесконечно малая последовательность. Возьмем  >0. Согласно определению бесконечно малой, для 1=1/  N(1)N: n  N(1)   хn < 1/. Отсюда следует, что 1/ хn >  для n  N, т.е. {1/xn} – бесконечно большая. Пусть {1/xn} – бесконечно большая последовательность. Возьмем  > 0. Согласно определению бесконечно большой, для 1=1/  N(1)N: n  N(1)  1/ хn > . Отсюда следует, что хn <  для n  N, т.е. {xn} – бесконечно малая.

Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями. ЛЕММА. где n – бесконечно малая числовая последовательность. Доказательство. Пусть Это значит, что  > 0  N()N: n  N( )  | xn– а |< , то есть xn – а = n – бесконечно малая последовательность. Пусть xn= а + n, где n – бесконечно малая. Из определения бесконечно малой последовательности следует, что  > 0  N()N: n  N( ) | xn– а | < , то есть

ТЕОРЕМА. ТЕОРЕМА. Если xn = С = const n, то Если то

Доказательство. Доказательство. xn – С = С – С = 0 – бесконечно малая последовательность. Тогда, согласно лемме, Согласно лемме, xn= а + n , уn= b + n , где n , n – бесконечно малые последовательности. Тогда a) xn  уn= ( а + n)  ( b + n) = (a  b) + (n  n), где n  n – бесконечно малая последовательность и, согласно лемме,

b) xn·уn= ( а + n)·( b + n) = a·b + (аn+bn), b) xn·уn= ( а + n)·( b + n) = a·b + (аn+bn), где аn+ bn – бесконечно малая последовательность и, согласно лемме, c) где – бесконечно малая последовательность; то есть, согласно лемме,

СЛЕДСТВИЕ. СЛЕДСТВИЕ. Если существует то для любого числа СR ЗАМЕЧАНИЕ. В случае бесконечно больших последовательностей теоремы об арифметических операциях над ними неприменимы. Так, например, частное двух бесконечно больших последовательностей не всегда является бесконечно большой.