Числовые ряды Лекции 10,11 - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Числовые ряды Лекции 10,11. Доклад-сообщение содержит 35 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Числовые ряды Лекции 10,11

Слайд 2

Описание слайда:

Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Определение. Выражение (1) называется числовым рядом, - общий член ряда.

Слайд 3

Описание слайда:

Примеры Рассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +… Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю, а нечетного –единице. Такой ряд не имеет суммы.

Слайд 4

Описание слайда:

Примеры Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится, если

Слайд 5

Описание слайда:

Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы , называются частичными суммами ряда (1). Опр. Если существует конечный , то числовой ряд называется сходящимся, а число - суммой ряда. Если равен бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.

Слайд 6

Описание слайда:

Пример сходящегося ряда Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда . Тогда , , ,…

Слайд 7

Описание слайда:

Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е. . 2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.

Слайд 8

Описание слайда:

Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.

Слайд 9

Описание слайда:

Гармонический ряд Исследуем ряд , называемый гармоническим. Для решения задачи запишем гармонический ряд в развернутом виде: и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами

Слайд 10

Описание слайда:

Продолжение Найдем частичные суммы второго ряда: . Итак,гармонический ряд расходится, т. к. его сумма больше суммы вспомогательного ряда.

Слайд 11

Описание слайда:

Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то . Если же , то ряд расходится.

Слайд 12

Описание слайда:

Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится, так как .

Слайд 13

Описание слайда:

Знакоположительные ряды

Слайд 14

Описание слайда:

Признак сравнения. Пусть даны ряды и . Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.

Слайд 15

Описание слайда:

Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и отличный от нуля , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Слайд 16

Описание слайда:

Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который расходится, и ряд или ,о которых известно, что первый сходится, а второй при p1сходится, а при p1 расходится.

Слайд 17

Описание слайда:

Примеры Исследовать на сходимость ряды а) и б) . Найдем предел отношения членов данного ряда и ряда ,с которым сравниваем данный ряд. . Ряд сходится.

Слайд 18

Описание слайда:

Примеры Ряд сравниваем с гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Слайд 19

Описание слайда:

Признак Даламбера Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при признак ответа не дает.

Слайд 20

Описание слайда:

Примеры Исследовать на сходимость ряд Так как , то и . Так как , то данный ряд сходится.

Слайд 21

Описание слайда:

Признак Коши Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при признак ответа не дает.

Слайд 22

Описание слайда:

Примеры Ряд исследуем с помощью признака Коши. Вычислим . Тогда и ряд согласно признаку Коши расходится.

Слайд 23

Описание слайда:

Интегральный признак Пусть члены ряда положительны и при . Пусть функция при имеет значения , положительна и монотонно убывает при .Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным интегралом

Слайд 24

Описание слайда:

Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд . Функция монотонно убывает. Несобственный интеграл = .Ряд расходится при p1 .

Слайд 25

Описание слайда:

Пример Исследовать на сходимость ряд . Члены ряда положительны и монотонно убывают. Функция , очевидно, также положительна при x2 и монотонно убывает.

Слайд 26

Описание слайда:

Продолжение . Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.

Слайд 27

Описание слайда:

Знакопеременные ряды

Слайд 28

Описание слайда:

Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) и 2) . Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма S не превосходит его первого члена, т.е. .

Слайд 29

Описание слайда:

Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1) , 2) . 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и . Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

Слайд 30

Описание слайда:

Примеры 2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.

Слайд 31

Описание слайда:

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд , то знакопеременный ряд также сходится.

Слайд 32

Описание слайда:

Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Слайд 33

Описание слайда:

Условно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Слайд 34

Описание слайда:

Пример Ряд абсолютно сходится, т.к. ряд из модулей его членов сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд расходится вместе с гармоническим рядом .

Слайд 35

Описание слайда:

Остаток ряда и его оценка Определение. Если числовой ряд сходится, то разность называется n-м остатком ряда. Таким образом, представляет собой сходящийся ряд. При этом . Теорема. Если знакочередующийся ряд сходится, то .