🗊Презентация Функциональные ряды

Функциональные ряды.

Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом относительно переменной x. Придавая переменой x некоторое значение x0,x1 и т.д., мы будем получать те или иные числовые ряды. В зависимости от значения принимающего переменной x, численный ряд может оказаться сходящимся или расходящимся. Опр-е: Совокупность всех значений переменной x, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Опр-е: Функциональный ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2), где а0, а1, а2… не зависят от переменой x, называется степенным относительно переменных x рядом. Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых . Наоборот, если ряд (2) расходится при x=x0, он расходится при всех значениях x, для которых Для каждого степенного ряда существует такое вещественное неотрицательное число R, что при |x|<R ряд (2) сходится, а при |x|>R расходится. R-радиус сходимости. Опр-е: Область значений переменной x, удовлетворяющих соотношению –R< x <R называется в случае вещественного ряда его интервалом сходимости. 1) Степенные ряды вида (2), которые сходятся лишь в точке х=0 относятся к рядам первого класса. # 1+x+1!x2+…+n!xn+… 2) Степенные ряды вида (2), которые сходятся на всем R относятся к рядам II-го класса. #

3) Ряды вида 2, не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III классам. Теорема: Пусть для ряда (2) существует и отличен от нуля предел: Тогда R= # Составим предел отношения Интервал сходимости: -3<x<3. Ряды по степеням разности х-а

Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R с центром в точке x=a. Разложение функций в степенные ряды Ряд Тэйлора Если функция F(x) является суммой ряда (3), то в этом случае говорят, что F(x) разлагается в ряд по степеням (x-a) Мы имеем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда (т.е. многочленов). Если функция F(x) на интервале (х0-R; х0+R) разлагается в степенной ряд F(х)= (4) то это разложение единственно.

Коэффициенты (4) определяется единственным образом функциями: (5) Подставляя выражения (5) в равенство (4) получаем ряд Тейлора – разложение функции F(х) по степеням разности (х-а). Пример: Найти коэффициент а4 в разложении функции F(x)=x3-1 по степеням разности (x-1). F’(x)=3x2 F’’(x)=6x F’’’(x)=6 FIV(x)=0 a4=0

Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1), чему равен коэффициент при (x-1)2. Порядок 5, значит слагаемых будет 6. F’(x)=20х4-30х2 F’’(x)=80х3-60х F’’(1)=80-30=20 Ряды Фурье Опр-е: Тригонометрический ряд вида: (8) где а0,аn,bn (n=1,2 и т.д.) – постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда, называется рядом Фурье ф-ции f(x).

f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по формулам: Достаточные условия представимости функции ряда Фурье. Пусть функция f(x) на отрезке [- ; ] удовлетворяет условиям Дирехле 1. Это значит, что функция на этом отрезке непрерывна или кусочко – непрерывна (т.е. имеет конечное число точек, разрыва первого рода) и 2. Монотонно или кусочно-монотонно.

I. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирехле на отрезке [- ; ], то ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, и (f(x0-0)+f(x0+0))/2. В точке x0 – разрыва ф-ции,

Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье. С помощью имеющегося разложения в ряд Фурье можно вычислять значения сумм числовых рядов, соответствующих данному ряду. Пример: Дана функция Вычислив коэффициент ряда Фурье, имеем: Найти сумму числового ряда:

Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем cos(2k-1)x, который является мнимым. Пусть cos(2k-1)x=1, тогда: cos(2k-1)x=1 (2k-1)x=0 x=0 в этой тоже функция f(x) определена и значит по теореме Дирихха сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x), f(0)=-x/0=-0=0< Рассчитаем третье слагаемое: Подставим все найденные значения в разложение:

Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2 найти сумму числового ряда Разложение функции в неполный ряд Фурье. Разложения будет неполным (говорят о неполном ряде Фурье), если исходящая функция является: а) четной –разложение по cos: б) нечетная – разложение по sin:

в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция продолжается на другой полуинтервал и просчитываются соответствующие коэффициенты (ak или bk). Пример: f(x)=x на Зададим продолжение функции на интервал нечетную функцию.

на Упр: та же функция, продолжение - четное.