🗊 Доклад на тему: «Вневписанная окружность» Номинация: математика Выполнили: Коляда Валентина Афонина Екатерина ученицы 9м кл

Категория: Геометрия
Нажмите для полного просмотра!
  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №1  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №2  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №3  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №4  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №5  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №6  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №7  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №8  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №9  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №10  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №11  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №12  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №13  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №14  
  Доклад на тему: «Вневписанная окружность»  Номинация: математика  Выполнили:  Коляда Валентина  Афонина Екатерина  ученицы 9м кл, слайд №15

Вы можете ознакомиться и скачать Доклад на тему: «Вневписанная окружность» Номинация: математика Выполнили: Коляда Валентина Афонина Екатерина ученицы 9м кл. Презентация содержит 15 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации


Слайд 1





Доклад на тему:
«Вневписанная окружность»
Номинация: математика
Выполнили:
Коляда Валентина
Афонина Екатерина
ученицы 9м класса
гимназии № 22
научный руководитель
учитель высшей категории
Плеснявых Елена Аслановна
Описание слайда:
Доклад на тему: «Вневписанная окружность» Номинация: математика Выполнили: Коляда Валентина Афонина Екатерина ученицы 9м класса гимназии № 22 научный руководитель учитель высшей категории Плеснявых Елена Аслановна

Слайд 2





Содержание
Введение.                                                                                                            
Основная часть
                 Глава 1. Определение вневписанной окружности.                                              
                                Центр вневписанной окружности.
                                Касательная к вневписанной окружности.
                 Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных                             
                                окружностей. 
                       § 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и
                              периметром треугольника
                       § 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и 
                              периметром треугольника
                 Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных                         
                                окружностей.
                       § 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через
                              радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
                       § 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных 
                              окружностей, через величину обратную радиусу вписанных  
                              окружностей.
                       § 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов 
                              вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
                              треугольника.
                       § 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей
                              через произведение радиуса вписанной окружности и 
                              квадрат полупериметра треугольника.
                       § 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных 
                               окружностей.
Заключение.                                                                                                       
Библиография.
Описание слайда:
Содержание Введение. Основная часть Глава 1. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей. § 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника § 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных окружностей. § 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности § 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. § 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. § 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. § 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Заключение. Библиография.

Слайд 3






Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон
Описание слайда:
Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон

Слайд 4






Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1)
Дано:
    АВС
Окр. (О; r)
М, N, К – точки касания
Доказать (1)
Решение:
Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.
Описание слайда:
Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1) Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

Слайд 5





Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника
                                     АВ1 = АС1 = p
Дано:
  АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )
Доказать, что
АВ1 = АС1 = p
Доказательство:
Т.к. Оа  - центр вневписанной 
окружности. Касательные, прове -
денные к окружности из 
одной точки, равны между собой,
поэтому  ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е.   АВ1 = АС1 = p.
Описание слайда:
Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать, что АВ1 = АС1 = p Доказательство: Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p.

Слайд 6





Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.
                           ra = ptg     , rb = ptg     , rc = ptg       (2)
Дано:
  АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)
Доказать (2)
Решение:
В прямоугольном треугольнике А Оа С1 
   ra  и p – длины катетов, угол Оа А С1
  равен      , поэтому   ra = ptg     .
Описание слайда:
Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg (2) Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать (2) Решение: В прямоугольном треугольнике А Оа С1 ra и p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = ptg .

Слайд 7





§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е.
                         ra =            , rb =            , rc =              (3)
Дано:
  АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)
Доказать (3)
Решение:
Имеем 
S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC =       × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е.
                                               ra =
Описание слайда:
§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc = (3) Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать (3) Решение: Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е. ra =

Слайд 8





Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е.
                                  ra +  rb + rc = r + 4R 
                                           
                            Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:
r =      , R =        , ra =       , rb =         , rc =
Значит,
      ra + rb + rc – r =           +            +           -          = 
=                                                            = 
=           =        = 4R
Описание слайда:
Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = = 4R

Слайд 9





§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. 

                                Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:
r =        , R =          , ra =          , rb =         , rc =      
        Значит,
Описание слайда:
§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит,

Слайд 10





§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е.
                                    rarb + rbrc + rcra = p2
                             Доказательство:
Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:
r =          , ra =            , rb =            , rc =                    
Подставим
Из формулы Герона следует
(p – a)(p – b)(p – c) =          , поэтому
Описание слайда:
§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2 Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , ra = , rb = , rc = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

Слайд 11





§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е.
                                                rarbrc = rp2
                            Доказательство:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона
ra =            , rb =            , rc =              ,  
Тогда
Описание слайда:
§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона ra = , rb = , rc = , Тогда

Слайд 12





Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.
                                            
                        
                       Доказательство:
               
                  Из  rarbrc = rp2 = rp × p = Sp.
              Следовательно
Описание слайда:
Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp. Следовательно

Слайд 13





Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.

                           Доказательство:
Из следствия 1, что                  и равенства S = pr, 
           получаем, перемножая их почленно,
                                . Значит
Описание слайда:
Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит

Слайд 14





§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е.

                                         ,                            ,   
                   Доказательство:
                      Воспользуемся формулами
                           ,
 Значит,
                                  ,
Описание слайда:
§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , , Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

Слайд 15





3. Заключение.
Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой.
Описание слайда:
3. Заключение. Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой.



Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию