🗊Геометрия МОУ Серковская СОШ Цитович Алексей Федорова Ирина Юрьевна

Геометрия МОУ Серковская СОШ Цитович Алексей Федорова Ирина Юрьевна

Показать свои знания основного теоретического материала по темам «Аксиомы стереометрии», «Параллельность прямой и плоскости», «Параллельность плоскостей», «Перпендикулярность прямой и плоскости»; Показать свои знания основного теоретического материала по темам «Аксиомы стереометрии», «Параллельность прямой и плоскости», «Параллельность плоскостей», «Перпендикулярность прямой и плоскости»; Научиться работать с инструментами: вставка объекта и надписи, прямые, тип линий, тип штриха, цвет линий, эллипс, группировка объектов, эффекты и настройка анимации, управляющие кнопки, WordArt; Развитие способности практического применения основных теорем и аксиом стереометрии при построении сечений; научиться планировать свою деятельность.

Содержание: Список применяемых теорем Проектное задание №1 Проектное задание №2 Проектное задание №3 Проектное задание №4 Проектное задание №5

Сводный список применявшихся теорем: С2: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 15.1 : Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 15.2 : Если две точки прямой принадлежат этой плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема 15.3 : Через три точки ,не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 16.1 : Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Теорема 16.2 : Две прямые, параллельные третьей прямой, параллейны. Теорема 16.3 : Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-ни будь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Свойство параллельных плоскостей: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллейны. Свойство перпендикулярных прямой и плоскости: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Проектное задание №1: На ребрах МА и МВ, а также в грани МСD пирамиды МАВСD взяты соответственно точки P, Q и R. Построить линию пересечения плоскости PQR с плоскостью АВС.

Решение: Построим точки Р’, Q’, R’ - проекции соответственно точек P, Q, R на плоскость АВС. Прямые PQ и P’Q’ лежат в одной плоскости. Найдем точку S1, в которой пересекаются эти прямые. По теореме 15.2. точка S1 является общей точкой плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S1 . Аналогично найдем точку S2 , в которой пересекаются прямые QR и Q’R’ и которая является общей для плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S2 . Проведём прямую S1 S2. По теореме 15.2. Эта прямая лежит как в плоскости АВС, так и в плоскости PQR. Таким образом, прямая S1 S2 -это искомая линия пересечения. Линию пересечения двух плоскостей называют также следом одной из них на другой.

Проектное задание №2: На ребрах МА и МВ, а также в грани МСD пирами-ды МАВСD взяты соот-ветственно точки P, Q и R. Построить сечение пирами-ды плоскостью PQR.

Решение: Построим прямую S1S2- след плоскости PQR на плоскости АВС. Линия пересечения плоскости PQR с плоскостью МАВ - прямая QS1, а отрезок QP - это пересечение плоскости PQR с гранью МАВ. Точка Р является общей точкой плоскостей PQR и МАD. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку Р (по Т 15.2.). Проекция точки пересечения прямой МD с плоскостью PQR на плоскость АВС совпадает с точкой D. Пересечение Р’V’ с прямой S1S2 дает точку S3. Точка S3 является общей точкой плоскостей PQR и МАD. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S3 (по Т 15.2.). Точки Р и S3 являются общими для плоскостей PQR и МАD. Значит, прямая РS3 - это линия пересечения этих плоскостей. Проведем её и найдём точку V, в которой прямая РS3 пересекает MD. Отрезок PV является пересечением плоскости PQR с гранью МАD. Точки R и V являются общими для плоскостей PQR и МCD. Значит, прямая RV - это линия пересечения этих плоскостей. Найдём точку T, в которой прямая RV пересекает MC. Отрезок VT является пересечением плоскости PQR с гранью МCD. Отрезок QT - это пересечение плоскости PQR с гранью MBC PQTV - искомое сечение

Проектное задание №3: В гранях BCC1B1, ADD1A1 и CDD1C1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q, R. Построим линию пересечения плоскостей PQR и АВС.

Решение: Построим точки Р’, Q’, R’ - проекции соответственно точек P, Q, R на плоскость АВС. Так как ВВ1||АА1 , ВВ1||РР’ , АА1||QQ’, то РР’ ||QQ’ и, значит, определя-ют плоскость. Прямые PQ и P’Q’ лежат в одной плоскости. Найдем точку S1, в которой пересекаются эти прямые. По теореме 15.2. точка S1 является общей точкой плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S1 . Так как CC1||РР’ , CC1||RR’, то РР’ ||RR’ и, значит, определяют плоскость. Аналогично найдем точку S2 , в которой пересекаются прямые QR и Q’R’ и которая является общей для плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S2 . Проведём прямую S1 S2. По теореме 15.2. Эта прямая лежит как в плоскости АВС, так и в плоскости PQR. Таким образом, прямая S1 S2 -это искомая линия пересечения.

Проектное задание №4: В гранях BCC1B1, ADD1A1 и CDD1C1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q, R. Построим сечение призмы плоскостью PQR.

Решение: Построим прямую S1S2- след плоскости PQR на плоскости АВС. Точка Q является общей для плоскостей PQR и АDD1. Они пересекаются по прямой, проходящей через точку Q (по Т 15.2.). Проекция точки пересечения прямой DD1 с плоскостью PQR на плоскость АВС совпадает с точкой D. Пересечение Q’V’ с пря-мой S1S2 дает точку S3. Точка S3 является общей для плоскостей PQR и АDD1. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S3 (по Т 15.2.). Точки Q и S3 являются общими для плоскостей PQR и АDD1. Значит, прямая QS3 - это линия пересечения этих плоскостей. Проведем её и найдём точки V(точка пере-сечения прямых QS3 и DD1) и А2(точка пересечения прямых QS3 и АА1). Отрезок А2V является пересечением плоскости PQR с гранью АDD1A1. Точки R и V являются общими для плоскостей PQR и C1CD. Значит, прямая RV - это линия пересечения этих плоскостей. Найдём точку C2 , в которой прямая RV пе-ресекает CC1. Отрезок VC2 является пересечением плоскости PQR с гранью C1CDD1. Рассуждая аналогично найдем отрезок С2К, который является пересечением плоскости PQR с гранью C1CВB1. По свойству параллельных плоскостей прямые S1S2||KL, где К - это точка пересе-чения ребра В1А1 с плоскостью PQR. VC2KLA2 - искомое сечение

Проектное задание №5: На ребрах АА1 и АD призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки А2 и Р. Через точку Р проведем прямую m, параллельную прямой А2С1.

Решение: Проведём прямую А2Р и найдем точки пересечения А2Р с DD1 и A1D1 (D2 и F соответственно). Проведем прямую D2C1 и найдем S - точку пересечения прямых D2C1 и CD. Проведём прямую SP. Проведём прямую C1F и найдём К - точку пересечения C1F и А1В1. . Соединим точку А2 с точкой К А2PSC1K- сечение призмы В плоскости А2С1Р через точку Р проведем прямую m||А2С1 и найдем Y -точка пересечение прямых m и D2C1. PY-искомая прямая Замечание: Прямые PS и KC1 получились параллельными. Закономерность этого факта обосновывается свойством параллельных плоскостей АВС и А1В1С1.

Проектное задание №6: На ребрах СD и ВВ1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q. Построим сече-ние призмы плоскос-тью, проходящей через прямую PQ паралле-льно прямой АС.

Решение: В плоскости АВС проведём прямую m||АС. Найдем S1, S2, S3 - точки пересечения прямой m с прямыми AD, AB, BC соответственно. Прямая QS2 - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью АВВ1. Найдем А2 - точку пересечения прямых АА1 и QS2. Отрезок QА2 является пересечением секущей плоскости с гранью АВВ1А1. Прямая QS3 - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью ВСС1. Найдем С2 - точку пересечения прямых СС1 и QS3. Отрезок QС2 является пересечением секущей плоскости с гранью ВСС1С1. Соединим точку А2 с точкой S1 и точку С2 с точкой Р. Отрезки А2S1 и С2Р являются пересечениями секущей плоскости соответственно с гранями АDD1A1 и CDD1C1. PS1A2QC2 - искомое сечение

Проектное задание №7: На ребрах АВ, ВС и ВВ1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R. Построим сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости PQR и проходящей через точку К взятую на ребре АD.

Решение: В плоскости АВС через точку К проведём прямую m||PQ. Найдем S1, S2, S3 - точки пересечения прямой m с прямыми СD, AB, BC соответственно. В плоскости АВВ1 через точку S2 прямую n||PR. Найдем А2, Т1 - точки пересечения прямой n с прямыми AА1, B1А1 соответственно. В плоскости СВВ1 через точку S3 прямую k||QR. Найдем C2, Т2 - точки пересечения прямой k с прямыми CC1, B1C1 соответственно. Соединим точку Т1 с точкой Т2, точку S1 с точкойC2, точку A2 с точкой K. KS1C2T2T1A2 - искомое сечение Замечание: Прямые КS1 и Т1Т2 получились параллельными. Закономерность этого факта обосновывается свойством параллельных плоскостей АВС и А1В1С1.

Проектное задание №8: На ребре А1В1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р - середина этого ребра. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно прямой В1D.

Решение: Так как А1С1 перпендикулярна В1D1 и А1С1 перпендикулярна DD1, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая А1С1 перпендикулярна плоскости DD1В1. Проведём в плоскости А1В1С1 через точку Р прямую PQ||А1С1. По свойству перпендикулярных прямой и плоскости прямая PQ перпендикулярна плоскости DD1В1, и, следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, PQ перпендикулярна В1D. Рассуждая аналогично, проведём через точку Р в плоскости АВВ1 прямую РВ2||А1В. Тогда РВ2 перпендикулярна В1D. Так как прямая В1D ( по построению) перпендикулярна двум пересекающимся прямым PQ и РВ2, то плоскость, определяемая этими прямимы, перпендикулярна прямой В1D. QPB2 - искомое сечение

Проектное задание №9: Высота МО правильной пирамиды МАВСD равна стороне ее основания. По-строим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину D перпенди-кулярно прямой МВ.

Решение: В плоскости BMD опустим перпендикуляр из точки D на прямую МВ. Выполним это построение вычислительным способом. Для построения точки Н подсчитаем, что отношение ВН:ВМ=2:3. Зная это отношение параллельных отрезков ВН и ВМ, построим с помощью вспомогательного луча m точку Н и проведем затем прямую DH. Проведем в плоскости МАС через точку пересечения прямых DH и МО прямую А1С1||АС. По свойству перпендикулярных прямой и плоскости АС перпендикулярна плоскости BDM. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, А1С1 перпендикулярна МВ. Пересекающимися прямыми А1С1 и DH определяется плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой МВ. DA1HC1 - искомое сечение

МОИ ИНСТРУМЕНТЫ: При выполнении данного проекта мою деятельность мож-но разделить на три этапа: работа с текстом; геометрические построения; анимация. При работе с текстом я использовала: вставку надписи, цвет текста, нижний индекс, шрифт, размер шрифта. Для геометрического построения мне были необходимы ин-струменты: линии, цвет линии, тип линии, тип штриха, овал. Для того чтобы выполнить анимацию мне был нужен ин-струмент-группировка. Без него анимация была бы трудо-емкой. Я старалась выдержать проект в едином стиле.

ВЫВОДЫ: Создавая проект, я поняла: технологию применения основных аксиом и теорем стерео-метрии; за чем нужен и как пользоваться инструментом группи-ровка. Этот проект научил меня: строить сечение многогранников; делать выноски и пользоваться управляющими кнопками. Из опыта работы по этому проекту в дальнейшем мне приго- диться: способности планировать свою деятельность и оформ-лять наглядно и стильно любую работу; навык работы с инструментами: группировка и управляю-щие кнопки.