Испытания Бернулли. Формула Бернулли - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №1

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №2

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №3

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №4

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №5

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №6

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №7

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №8

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №9

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №10

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №11

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №12

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №13

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №14

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №15

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №16

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №17

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №18

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №19

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №20

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №21

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №22

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №23

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №24

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №25

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №26

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №27

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №28

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №29

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №30

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №31

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №32

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №33

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №34

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №35

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №36

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №37

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №38

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №39

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №40

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №41

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №42

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №43

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №44

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №45

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №46

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №47

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №48

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №49

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №50

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №51

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №52

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №53

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №54

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №55

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №56

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №57

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №58

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №59

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №60

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №61

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №62

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №63

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №64

Испытания Бернулли. Формула Бернулли, слайд №65

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Доклад-сообщение содержит 65 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли В условиях этих испытаний представляют интерес два вопроса: 1. Какова вероятность того, что наблюдаемое событие наступит ровно k раз в n испытаниях? 2. Сколько раз вероятнее всего наступит наблюдаемое событие?

Слайд 2

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли Ответ на 1-й вопрос дает формула Бернулли: - вероятность наступления события k раз в n испытаниях; p - вероятность наступления события в одном испытании; q = 1 – p - вероятность не наступления события в одном испытании;

Слайд 3

Описание слайда:

Число сочетаний

Слайд 4

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли При ответе на 2-й вопрос по существу требуется определить наивероятнейшее число k0 появлений события в n испытаниях, т.е. такое число k0, которому соответствует максимальная вероятность:

Слайд 5

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли Можно показать, что эти условия приводят к неравенству Замечания: 1. k0 – целое число; 2. Может быть несколько наивероятнейших целых чисел, тогда – им соответствует одинаковая в точности максимальная вероятность.

Слайд 6

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли Задача. Монета брошена 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится ровно 3 раза? Сколько раз вероятнее всего появится герб? Решение: 1. По формуле Бернулли с учетом n = 5, k = 3, p = q = ½ :

Слайд 7

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли 2. Найдем k0 из неравенства с учетом n = 5 и p = q = 1/2:

Слайд 8

Описание слайда:

Испытания Бернулли. Формула Бернулли Т.о. имеем два наивероятнейших числа: Поэтому должно быть Убедимся в этом:

Слайд 9

Описание слайда:

Использование противоположного события При независимых многократных испытаниях для вычисления вероятности суммы событий вместо теоремы сложения вероятностей удобнее использовать вероятность противоположного события, особенно, когда число слагаемых n > 2.

Слайд 10

Описание слайда:

Использование противоположного события Пусть – наступление события A в i-м испытании. По определению, сумма событий – наступление события хотя бы один раз: Противоположное событие

Слайд 11

Описание слайда:

Использование противоположного события Противоположные события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е. Отсюда

Слайд 12

Описание слайда:

Использование противоположного события По теореме умножения вероятностей независимых событий где . Итак,

Слайд 13

Описание слайда:

Использование противоположного события Задача. Три стрелка стреляют в цель с вероятностью успеха Найти вероятность поражения мишени. Решение. Введем обозначения событий:

Слайд 14

Описание слайда:

Использование противоположного события Событие Вычислим вероятности противоположных событий:

Слайд 15

Описание слайда:

Использование противоположного события Тогда вероятность события B:

Слайд 16

Описание слайда:

Распределения дискретных случайных величин Все процессы, происходящие в природе, делятся на непрерывные и дискретные. Например, такие величины, как количество человек в студенческой группе, число солнечных дней в году, высота горы, уровень интеллекта являются дискретными величинами, потому что имеют конкретный количественный признак, который некоторое время не изменяется

Слайд 17

Описание слайда:

Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, σ, Р), то есть Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, σ, Р), то есть пространство элементарных исходов Ω, σ -алгебру событий (определенную нами на пространстве путем введения замкнутых операций), вероятность Р (как меру нашего множества).

Слайд 18

Описание слайда:

Случайной величиной ξ (кси) называется произвольная функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу (событию) ω число ξ = ξ(ω) Случайной величиной ξ (кси) называется произвольная функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу (событию) ω число ξ = ξ(ω)

Слайд 19

Описание слайда:

Распределение дискретной случайной величины ξ

Слайд 20

Описание слайда:

Пример Два игрока играют в “орлянку” на следующих условиях: если при подбрасывании монеты выпадает “орел”, то первый игрок платит второму $1, если “решка”, то второй игрок платит первому $2. Опишем случайную величину ξ , равную выигрышу первого игрока в этой игре (при одном подбрасывании монеты).

Слайд 21

Описание слайда:

Решение Пространство элементарных исходов (событий) Ω состоит из двух исходов: ω1 – выпадение “орла” и ω2 – “решки”. σ-Алгебра событий насчитывает 4 события: Ø, {ω1}, {ω2}, Ω . Найдем вероятности всех событий из множества алгебры событий: Р(Ø) = 0, Р(ω1) = 1/2, Р(ω2) = 1/2, Р(Ω) = 1. Вероятностное пространство – определено

Слайд 22

Описание слайда:

Значения случайной величины

Слайд 23

Описание слайда:

Функция распределения случайной величины Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξ называется функция F(x), значение которой в точке х равно вероятности события {ξ < x }, т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых ξ (ω)

Слайд 24

Описание слайда:

Свойства функции распределения 1. Функция F(x) является ограниченной, то есть ее значения лежат в интервале от 0 до 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Функция F(x) является неубывающей. Если х2 > x1, то F(х2) ≥ F(x1), так как вероятность любого события неотрицательна.

Слайд 25

Описание слайда:

Свойства функции распределения 3. Вероятность попадания случайной величины ξ на отрезок (x1, x2) определяется формулой: P{x1 ≤ ξ ≤ х2} = F(x2) – F(x1).

Слайд 26

Описание слайда:

Ряд распределения дискретной случайной величины числа выпавших очков при бросании кости

Слайд 27

Описание слайда:

Функция распределения вероятностей выпадения очков при бросании кости

Слайд 28

Описание слайда:

Кумулятивная вероятность распределения числа очков при бросании кости

Слайд 29

Описание слайда:

Пример В неком обществе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по $10 и одна стоимостью $30. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для субъекта, который приобрел один билет за $1; всего продано 50 билетов.

Слайд 30

Описание слайда:

Решение Искомая случайная величина X может принимать три значения: -1, (если субъект не выиграет, а проиграет $1, уплаченный за билет); $9, $29. Первому результату благоприятны 47 случаев из 50, второму – 2 из 50, третьему – 1 из 50.

Слайд 31

Описание слайда:

Закон распределения Х имеет вид

Слайд 32

Описание слайда:

Виды распределений Виды распределений

Слайд 33

Описание слайда:

Биноминальное распределение является распределением числа успехов μ в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q = 1 – p.

Слайд 34

Описание слайда:

Схема Бернулли Рассмотрим последовательность независимых одинаковых испытаний: появление или не появление некоторого наблюдаемого события в каждом испытании не будет зависеть от исходов предыдущих испытаний

Слайд 35

Описание слайда:

Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, “У” – успех, “Н” – неудача. Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, “У” – успех, “Н” – неудача. Пространство элементарных исходов Ω состоит из 2n исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНУ... (σ-алгебра событий включает 22n событий).

Слайд 36

Описание слайда:

В силу независимости испытаний сопоставим каждому элементарному исходу ω = УННУ...У вероятность Р(ω) = Р(УННУ...У)= pqqp...p, p – повторяется столько раз, сколько раз произошел успех, а q – сколько раз была неудача.

Слайд 37

Описание слайда:

Вероятность Рn(m) получить в n испытаниях ровно m успехов.

Слайд 38

Описание слайда:

Биноминальное распределение для n=5

Слайд 39

Описание слайда:

Пример Монета брошена 2 раза. Определить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

Слайд 40

Описание слайда:

При бросании монеты герб может появиться или 2 раза или 1 раз или совсем не появиться. Найдем вероятности этих событий по формуле Бернулли.

Слайд 41

Описание слайда:

Слайд 42

Описание слайда:

Пример На зачете студент получил n = 4 задачи. Вероятность решить правильно каждую задачу p = 0,8. Определим ряд распределения и построим функцию распределения случайной величины μ – числа правильно решенных задач

Слайд 43

Описание слайда:

В данном случае мы имеем дело с биноминальным законом:

Слайд 44

Описание слайда:

Пуассоновское распределение Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга

Слайд 45

Описание слайда:

Слайд 46

Описание слайда:

Распределение Пуассона носит также название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит “редкое” событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся нестабильных частиц и т. д. Распределение Пуассона носит также название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит “редкое” событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся нестабильных частиц и т. д.

Слайд 47

Описание слайда:

Слайд 48

Описание слайда:

Формула Пуассона Формула Пуассона применяется тогда, когда наряду с большим значением числа испытаний n “мала” вероятность успеха р. Она относится к приближенным формулам для вычисления Pn(m) при больших n.

Слайд 49

Описание слайда:

Пример Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Слайд 50

Описание слайда:

По условию n =5000, р=0,0002, k=3. Найдем λ= np =5000*0.0002=1 По формуле Пуассона искомая вероятность равна

Слайд 51

Описание слайда:

Пример Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно – 2. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит: А) 2 вызова; б); не менее 2 вызовов.

Слайд 52

Описание слайда:

по условию λ=2, t=5, m=4. По формуле Пуассона: А) Вероятность, что за 5 минут поступят 2 вызова: Это событие практически невозможно.

Слайд 53

Описание слайда:

Б) События «не поступило не одного вызова» и «поступил 1 вызов» – несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей: вероятность того, что за 5 минут поступят менее 2 вызовов, равна

Слайд 54

Описание слайда:

Геометрическое распределение

Слайд 55

Описание слайда:

Слайд 56

Описание слайда:

Пример Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Слайд 57

Описание слайда:

По условию, р=0,6, q=0,4, k=3. Искомая вероятность определяется по формуле:

Слайд 58

Описание слайда:

Продолжение примера Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Слайд 59

Описание слайда:

Случайная величина X – число сделанных выстрелов – имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид: Случайная величина X – число сделанных выстрелов – имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:

Слайд 60

Описание слайда:

Гипергеометрическое распределение Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0,1, 2, ..., min {n, M} с вероятностями

Слайд 61

Описание слайда:

где m=1, 2, ..., min {n, M}, m≤N, n≤N; n, N, M – натуральные числа. где m=1, 2, ..., min {n, M}, m≤N, n≤N; n, N, M – натуральные числа. N – общее количество объектов в генеральной совокупности; M – количество объектов с определенным свойством в генеральной совокупности; n – объем выборки; m – количество деталей с определенным свойством.

Слайд 62

Описание слайда:

Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приёмочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных обследований, и некоторых других областях.

Слайд 63

Описание слайда:

Пример В национальной лотерее "6 из 45" денежные призы получают участники, угадавшие от трёх до шести чисел из случайно отобранных 6 из 45 (размер выигрыша увеличивается с увеличением числа угаданных чисел). Найти закон распределения. Какова вероятность получения денежного приза?

Слайд 64

Описание слайда:

Случайная величина X – число угаданных чисел среди случайно отобранных шести – имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n=6, N=45, M=6. Ряд распределения X, рассчитанный по формуле: Случайная величина X – число угаданных чисел среди случайно отобранных шести – имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n=6, N=45, M=6. Ряд распределения X, рассчитанный по формуле: