🗊Презентация Математическая логика

Математическая логика Работу выполнила Студентка группы 450-12 Силантьева Алина

Содержание Введение 1. Предмет и методы математической статистики 2. Связь математической статистики с теорией вероятностей 3 Основные понятия выборочного метода 4 Выборочное распределение

Введение Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей позволяющую оценить надежность и точность выводов делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр. оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Предмет и методы математической статистики Математическая статистика — наука о математических методах анализа данных полученных при проведении массовых наблюдений (измерений опытов). В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел многомерный статистический анализ анализ функций (процессов) и временных рядов статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях. Выделяют общие задачи описания данных оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи связанные с проведением выборочных обследований восстановлением зависимостей построением и использованием классификаций (типологий) и др

 Связь математической статистики с теорией вероятностей.  Математической статистики с теорией вероятностей имеет в разных случаяхразличный характер. Вероятностей теория изучает не любые явления, аявления случайные и именно «вероятностно случайные», то есть такие, длякоторых имеет смысл говорить о соответствующих им распределенияхвероятностей. Тем не менее, теория вероятностей играет определённую рольи при статистическом изучении массовых явлений любой природы, которыемогут не относиться к категории вероятностно случайных. Этоосуществляется через основанные на теории вероятностей теориювыборочного метода и теорию ошибок измерений. В этих случаяхвероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приёмы их исследования.

вероятностей и входящих в них параметров и так далее. Область жеприменения этих более глубоких статистических методов значительно уже,так как здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчиненыдостаточно определённым вероятностным закономерностям. Например,статистическое изучение режима турбулентных водных потоков илифлюктуаций в радиоприёмных устройствах производится на основе теориистационарных случайных процессов. Однако применение той же теории канализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкамввиду того, что входящее в определение стационарного процесса допущениеналичия сохраняющихся в течение длительного времени неизменныхраспределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.

Основные понятия выборочного метода Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие AA   — выпадание трех очков на первой игральной кости, событие BB   — выпадание трех очков на второй кости. AA  и BB   — совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие AA  — наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие BB  — коробка окажется с обувью коричневого цвета, AA  и BB — несовместные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

Выборочное распределение Выборочное распределение — это распределение значений выборочных статистик, рассчитанныхдля каждой возможной выборки, которая формируется из изучаемой совокупности при определенном плане выборочного наблюдения.

Выборочное распределение среднего это нормальное распределение . Строго говоря, выборочное распределение доли биномиально. Однако для больших выборок (п = 30 и больше) его можно свести к нормальному распределению

Стандартная ошибка среднего или доли относится к выборочному распреде лению среднего или доли, а не к выборке или всей совокупности. Формулы для определе ния стандартной ошибки:

Теория вероятности

Содержание Понятие теории вероятности. Предмет теории вероятности. Основные понятия теории вероятности. Предельные теоремы.

Понятие теории вероятности. Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала.

Предмет теории вероятности Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и событием А, наступление или не наступление которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем: а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом. б) При условиях S событие А имеет определённую вероятность P (A / S), равную р. Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо число N атомов.

Назовем частотой события А в данной серии из n испытаний (то есть из n повторных осуществлений условий S) отношение h = m/n числа m тех испытаний, в которых А наступило, к общему их числу n. Наличие у события А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р.

Основные понятия теории вероятности Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей. Каждое испытание Т, рассматриваемое в элементарной теорией вероятностей, таково, что оно заканчивается одним и только одним из событий E1, E2,..., ES (тем или иным, в зависимости от случая). Эти события называются исходами испытания. С каждым исходом Ek связывается положительное число рк - вероятность этого исхода. Числа pk должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события А, заключающиеся в том, что "наступает или Ei, или Ej,..., или Ek". Исходы Ei, Ej,..., Ek называются благоприятствующими А, и по определению полагают вероятность Р (А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: P (A) = pi + ps + … + pk. (1)

Частный случай p1 = p2 =... ps = 1/S приводит к формуле Р (А) = r/s. (2) Формула (2) выражает так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо события А равна отношению числа r исходов, благоприятствующих А, к числу s всех "равновозможных" исходов. Классическое определение вероятности лишь сводит понятие "вероятности" к понятию "равновозможности", которое остаётся без ясного определения.

Событие С называется совмещением событий A1, А.2,..., Ar, если оно имеет вид: "наступает и A1, и A2,..., и Ar". Объединение событий обозначают знаком È, а совмещение - знаком Ç. Таким образом, пишут: B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar. События А и В называют несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.

Предельные теоремы При формальном изложении теории вероятностей предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки над ее элементарными разделами, в которых все задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Теорема Бернулли показывает, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Теорема Лапласа указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математическое ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой

Пусть X1, Х2,..., Xn,... (7) - независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с EXk = а, DXk = s2 и Yn - среднее арифметическое первых n величин из последовательности (7): Yn = (X1 + X2 + … +Xn)/n. В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было e > 0, вероятность неравенства |Yn - a| £ e имеет при n ®¥ пределом 1, и, таким образом, Yn как правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Yn от а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией s2 / n. Таким образом, для определения вероятностей тех или иных отклонений Yn от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин Xn, достаточно знать лишь их дисперсию.

Комбинаторика

Содержание 1. Правило суммы 2. Правило произведения 3. Пересекающиеся множества 4. Размещения без повторений   

Правило суммы Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y. То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами. То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Пересекающиеся множества Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой, где X и Y - множества, а  - область пересечения.

Размещения без повторений Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными. Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов. Количество всех размещений из n элементов по m обозначают