🗊 МОУ СОШ №10 г. Красногорска, учитель математики Трапезникова Н.К.

МОУ СОШ №10 г. Красногорска, учитель математики Трапезникова Н.К.

Тетраэдр Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника.

Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DАВ, DВС и DСА. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DАВ, DВС и DСА.

Определения. Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС, DАВ, DВС и DСА, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины - вершинами тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке противоположными являются рёбра АD и ВС, ВD и АС, СD и АВ. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке противоположными являются рёбра АD и ВС, ВD и АС, СD и АВ. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют её основанием, а три другие - боковыми гранями.

Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 34 и 35, т.е. в виде выпуклого или невыпуклого четырёхугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые рёбра. На рисунке 34 невидимым является только ребро АС, а на рисунке 35 - рёбра EK, KF и KL. Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 34 и 35, т.е. в виде выпуклого или невыпуклого четырёхугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые рёбра. На рисунке 34 невидимым является только ребро АС, а на рисунке 35 - рёбра EK, KF и KL.

Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1, DD1 параллельны. Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1, DD1 параллельны.

Четырёхугольники АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1C1, DAA1D1 также являются параллелограммами, т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны (в четырёхугольнике АВВ1А1 стороны АА1 и ВВ1 параллельны по условию, а стороны АВ и А1В1 - по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей. Четырёхугольники АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1C1, DAA1D1 также являются параллелограммами, т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны (в четырёхугольнике АВВ1А1 стороны АА1 и ВВ1 параллельны по условию, а стороны АВ и А1В1 - по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырёх параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырёх параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер - противоположными.

На рисунке противоположными являются грани ABCD и A1B1C1D1, ABB1A1 и DCC1D1, ADD1A1 и BCC1B1. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. На рисунке противоположными являются грани ABCD и A1B1C1D1, ABB1A1 и DCC1D1, ADD1A1 и BCC1B1. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. На рисунке диагоналями являются отрезки AC1, BD1, CA1 и DB1.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани - боковыми гранями параллелепипеда. Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани - боковыми гранями параллелепипеда. Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами. Если выбрать грани ABCD и A1B1C1D1, то боковыми гранями будут параллелограммы, а боковыми рёбрами - отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1.

1.Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 1.Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Докажем, параллельность и равенство граней ABB1A1 и DCC1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Доказательство. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то AB II DC и AA1 II DD1. Таким образом, две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем теперь равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По этой же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB1A1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны. Докажем теперь равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По этой же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB1A1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны.

2.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Рассмотрим четырёхугольник AD1C1B. Он также является параллелограммом, и, следовательно, его диагонали AC1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1B является точка O. Таким образом, диагонали A1C, D1B и AC1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим четырёхугольник AD1C1B. Он также является параллелограммом, и, следовательно, его диагонали AC1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1B является точка O. Таким образом, диагонали A1C, D1B и AC1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Рассматривая четырёхугольник A1B1CD, точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ DB1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам. Рассматривая четырёхугольник A1B1CD, точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ DB1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.

Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники.

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники (рис.39,а), пятиугольники (рис.39,б) и шестиугольники (рис.39,в). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники (рис.39,а), пятиугольники (рис.39,б) и шестиугольники (рис.39,в).

На рисунке 39,б секущая плоскость пересекает две противоположные грани ( левую и правую) по отрезкам AB и CD, а две другие противоположные грани ( переднюю и заднюю) - по отрезкам AE и BC, поэтому AB II CD и AE II BC. На рисунке 39,б секущая плоскость пересекает две противоположные грани ( левую и правую) по отрезкам AB и CD, а две другие противоположные грани ( переднюю и заднюю) - по отрезкам AE и BC, поэтому AB II CD и AE II BC.

По той же причине на рисунке 39,в AB II ED, AF II CD, BC II EF. Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра(параллелепипеда), после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани. По той же причине на рисунке 39,в AB II ED, AF II CD, BC II EF. Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра(параллелепипеда), после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Задача1. На рёбрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. Задача1. На рёбрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение. Решение. Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC.

Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNPQ - искомое сечение. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNPQ - искомое сечение.

Если прямые NP и BC параллельны, то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ML, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра AC с прямой ML. Если прямые NP и BC параллельны, то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ML, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра AC с прямой ML.

Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC. Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC.

Решение. Решение. Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку М прямую, параллельную отрезку AB.

Обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами DA и DB. Затем через точку P проведём прямую, параллельную отрезку AC, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR - искомое сечение. Обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами DA и DB. Затем через точку P проведём прямую, параллельную отрезку AC, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR - искомое сечение.

На рёбрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC. На рёбрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких рёбрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Когда эти точки лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение - треугольник ABC. Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких рёбрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Когда эти точки лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение - треугольник ABC.

Если три данные точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную BC, а через точку C - прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки E и D. Остаётся провести отрезок ED, и искомое сечение - пятиугольник ABCDE - построено. Если три данные точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную BC, а через точку C - прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки E и D. Остаётся провести отрезок ED, и искомое сечение - пятиугольник ABCDE - построено.

Более трудный случай, когда данные точки A, B C расположены так, как показано на рисунке. В этом случае сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Более трудный случай, когда данные точки A, B C расположены так, как показано на рисунке. В этом случае сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведём прямую AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведём прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.

Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведём прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF - построено. Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведём прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF - построено.