🗊Презентация Обслуговування викликів у СРІ типу M/M/v/L

Лекція 6 1. Обслуговування викликів у СРІ типу M/M/v/L 2. Обслуговування викликів у СРІ типу Mi/M/v/L 3. Порівняння пропускної здатності повністю доступної СРІ при обслуговуванні викликів примітивного й найпростішого потоків

Обслуговування викликів у СРІ типу M/M/v/L Система типу M/M/v/L вперше була досліджена А. К. Ерлангом. Сформулюємо постановку задачі. На вхід повністю доступної СРІ з приладами надходить найпростіший потік викликів, параметр якого не залежить від стану СРІ: Тривалість обслуговування виклику приладом СРІ є випадковою величиною, розподіленою за експоненціальним законом і характеризується параметром обслуговування μ. Необхідно визначити ймовірності станів СРІ.

Зазначимо, що система типу M/M/v/L є окремим випадком системи Mr/M/v, яка фактично була розглянута у попередньому розділі. Для цього випадку параметр потоку звільнень , . Тому скористаємося формулами для фінальних станів (8,9). У результаті підстановки в них виразів для параметра потоку викликів і параметра потоку звільнень отримаємо Зазначимо, що система типу M/M/v/L є окремим випадком системи Mr/M/v, яка фактично була розглянута у попередньому розділі. Для цього випадку параметр потоку звільнень , . Тому скористаємося формулами для фінальних станів (8,9). У результаті підстановки в них виразів для параметра потоку викликів і параметра потоку звільнень отримаємо де – інтенсивність вхідного навантаження.

Послідовність імовірностей , , розрахована згідно з (1), називається розподілом Ерланга. Послідовність імовірностей , , розрахована згідно з (1), називається розподілом Ерланга. Для розподілів Ерланга справедливе рекурентне співвідношення де Із порівняння формули (2) з аналогічним співвідношенням для розподілу Пуассона випливає, що з точністю до постійного множника, розподіл Ерланга співпадає з розподілом Пуассона. Тому розподіл Ерланга називають ще усіченим розподілом Пуассона.

Імовірності втрат Імовірність втрат за часом являє собою проміжок часу, протягом якого зайняті всі приладів СРІ і згідно (1) дорівнює Імовірність втрат за викликами визначається як відношення інтенсивності потоку втрачених викликів до інтенсивності потоку вхідних викликів

де У цьому випадку маємо Тому ймовірність втрат

Імовірність втрат за навантаженням визначається як відношення інтенсивності втраченого навантаження до інтенсивності вхідного навантаження Імовірність втрат за навантаженням визначається як відношення інтенсивності втраченого навантаження до інтенсивності вхідного навантаження Тут інтенсивність обслуженого навантаження З урахуванням виду розподілу Ерланга одержимо

Тому Отже, при обслуговуванні викликів найпростішого потоку повністю доступною СРІ ймовірності втрат за часом, викликами і навантаженням рівні між собою й дорівнюють ймовірності того, що СРІ перебуває у стані

Формула (8) була виведена Ерлангом у 1917 році. Ця формула для втрат у повністю доступній СРІ називається першою формулою Ерланга або B-формулою Ерланга. Перша формула Ерланга табульована. При сучасному розвитку обчислювальної техніки значення функції можуть бути обчислені з використанням комп`ютерних програм Mathcad, Matlab та інших. При цьому при великій кількості приладів ( ) доцільно використовувати зв`язок розподілу Ерланга з розподілом Пуассона.

На рис. 2 у графічному вигляді зображені функції Ерланга На рис. 2 у графічному вигляді зображені функції Ерланга для значень параметра рівних відповідно 5, 10, 15, 20, 25 і 30. Рисунок 2 − Вид функцій Ерланга

Аналіз формули Ерланга показує, що за умови фіксованої якості обслуговування середнє використання одного приладу (пропускна здатність одного приладу) збільшується зі зростанням числа приладів . В телефонії ця властивість називається «перевагою великих жмутків» ліній, що обслуговують виклики. Аналіз формули Ерланга показує, що за умови фіксованої якості обслуговування середнє використання одного приладу (пропускна здатність одного приладу) збільшується зі зростанням числа приладів . В телефонії ця властивість називається «перевагою великих жмутків» ліній, що обслуговують виклики. Знайдемо навантаження, що обслуговується кожним приладом повністю доступної СРІ при впорядкованому зайнятті вільних приладів, коли кожен виклик обслуговується вільним приладом з найменшим номером.

Навантаження, що обслуговується i-им приладом, дорівнює Навантаження, що обслуговується i-им приладом, дорівнює Слід звернути увагу на високе використання першого приладу, що дорівнює Згідно з (10) при y=100, 50 і 10 Ерл перша лінія пучка пропускає відповідно навантаження 0,99, 0,98 і 0,91 Ерл.

Неважко показати, що найбільше навантаження обслуговує перший прилад. А потім зі збільшенням номера приладу обслужене навантаження спадає. З фізичної точки зору це пояснюється тим, що на кожний наступний прилад надходить навантаження меншої інтенсивності, ніж на попередній прилад. Крім того, на другий і наступний прилад надходять навантаження, що створюються потоками Пальма, які характеризуються більшою нерівномірністю інтервалів між викликами, ніж у найпростіших потоках. При цьому, чим більший номер приладу, тим вища нерівномірність потоку. Неважко показати, що найбільше навантаження обслуговує перший прилад. А потім зі збільшенням номера приладу обслужене навантаження спадає. З фізичної точки зору це пояснюється тим, що на кожний наступний прилад надходить навантаження меншої інтенсивності, ніж на попередній прилад. Крім того, на другий і наступний прилад надходять навантаження, що створюються потоками Пальма, які характеризуються більшою нерівномірністю інтервалів між викликами, ніж у найпростіших потоках. При цьому, чим більший номер приладу, тим вища нерівномірність потоку.

Обслуговування викликів у СРІ типу Mi/M/v/L Постановка задачі обслуговування викликів у СРІ типу Mi/M/v/L формулюється так же, як і в попередньому розділі з тією різницею, що на вхід системи поступає примітивний потік викликів, що є окремим випадком симетричного потоку з простою післядією. Його параметр де − параметр потоку викликів від одного вільного джерела; − число джерел викликів. Після підстановки (11) у вираз для ймовірностей станів СРІ (5.8, 5.9),

а також з огляду на те, що параметр потоку звільнень а також з огляду на те, що параметр потоку звільнень , одержимо Послідовність імовірностей розрахована згідно з (12), називається розподілом Енгсета. Якщо число джерел викликів , а параметр джерела у вільному стані так,

що , то що , то Тому розподіл Енгсета (12) збігається до розподілу Ерланга (1). Визначимо інтенсивність навантаження, що надходить від одного джерела. Для цього розглянемо випадок, коли система працює без втрат. Це має місце, якщо У цих умовах втрат не виникне, якщо за кожним джерелом закріплюється свій прилад.

Тому достатньо розглянути випадок Тому достатньо розглянути випадок При цьому згідно з (12) одержимо При цьому інтенсивність навантаження, що надходить від одного джерела, дорівнює

Звідси маємо Звідси маємо Після використання формули (15) у виразі (12) одержимо вираз для розподілу Енгсета у такому вигляді Звідси зрозуміло, чому розподіл Енгсета називається усіченим біноміальним розподілом. При розподіл Енгсета співпадає з біноміальним розподілом.

Визначимо імовірності втрат в СРІ типу Mi/M/v/L. Визначимо імовірності втрат в СРІ типу Mi/M/v/L. Імовірність втрат за часом являє собою проміжок часу, протягом якого зайняті всі прилади СРІ З огляду на те, що значення ймовірностей у формулі (5), визначаються згідно з (12), одержимо, що імовірність втрат за викликами

Звідси випливає, що Звідси випливає, що Таким чином, у повністю доступній системі, на яку надходить найпростіший потік викликів, втрати за викликами за наявності n джерел дорівнюють втратам за часом за наявності -го джерела. При цьому втрати за викликами менші втрат за часом.

Імовірність втрат за навантаженням визначимо як відношення інтенсивності втраченого навантаження до інтенсивності вхідного навантаження Імовірність втрат за навантаженням визначимо як відношення інтенсивності втраченого навантаження до інтенсивності вхідного навантаження Інтенсивність вхідного навантаження Інтенсивність обслуженого навантаження визначимо за формулою У результаті досить громіздких обчислень одержимо

З формули (20) випливає, що ймовірність втрат за навантаженням є менша ймовірності втрат за викликами, оскільки З формули (20) випливає, що ймовірність втрат за навантаженням є менша ймовірності втрат за викликами, оскільки де враховано, що У граничному випадку при ймовірність втрат за навантаженням дорівнює нулю. У цьому випадку ймовірність втрат за викликами також дорівнює нулю,

оскільки інтенсивність потоку загублених викликів оскільки інтенсивність потоку загублених викликів , а ймовірність втрат за часом дорівнює Таким чином, при обслуговуванні примітивного потоку викликів повністю доступною СРІ мають місце співвідношення При обслуговуванні ж найпростішого потоку ймовірності всіх втрат одинакові:

Порівняння пропускної здатності повністю доступної СРІ при обслуговуванні викликів примітивного й найпростішого потоків При обслуговуванні викликів примітивного й найпростішого потоків має місце однаковий характер залежності пропускної здатності від числа приладів СРІ при заданих імовірностях втрат за викликами (або за навантаженням). Водночас при обслуговуванні викликів примітивного потоку навантаження є вищим в області будь-яких значень втрат.

Так наприклад, при числі приладів v=30 обслужене навантаження, що створюється примітивним потоком від 50 джерел при pн=0,01, на 12% вище, а при pн=0,2 на 6% вище навантаження, що створюється найпростішим потоком. Так наприклад, при числі приладів v=30 обслужене навантаження, що створюється примітивним потоком від 50 джерел при pн=0,01, на 12% вище, а при pн=0,2 на 6% вище навантаження, що створюється найпростішим потоком. Таким чином, за критерієм максимуму величини обслуженого навантаження, примітивний потік викликів завжди «кращий» найпростішого потоку. В області малих імовірностей втрат за викликами пропускна здатність СРІ є вищою при обслуговуванні примітивного потоку, ніж при обслуговуванні найпростішого потоку.

Для примітивного потоку зі зменшенням числа джерел n збільшується пропускна здатність пучка. Так при v=30 і ймовірності втрат pв=0,005 навантаження, що створюється примітивним потоком з n=100 і n=50, можуть відповідно досягати 21,65 Эрл і 20,00 Ерл, а навантаження, що створюється викликами найпростішого потоку − 18,7 Ерл, тобто навантаження від n=50 джерел на 8,2% більше навантаження від n=100 джерел і на 16 % більше навантаження, створюваного викликами найпростішого потоку. Зі збільшенням імовірності втрат за викликами вплив числа джерел на пропускну здатність системи зменшується. Для примітивного потоку зі зменшенням числа джерел n збільшується пропускна здатність пучка. Так при v=30 і ймовірності втрат pв=0,005 навантаження, що створюється примітивним потоком з n=100 і n=50, можуть відповідно досягати 21,65 Эрл і 20,00 Ерл, а навантаження, що створюється викликами найпростішого потоку − 18,7 Ерл, тобто навантаження від n=50 джерел на 8,2% більше навантаження від n=100 джерел і на 16 % більше навантаження, створюваного викликами найпростішого потоку. Зі збільшенням імовірності втрат за викликами вплив числа джерел на пропускну здатність системи зменшується.