Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9) - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №1

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №2

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №3

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №4

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №5

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №6

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №7

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №8

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №9

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №10

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №11

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №12

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №13

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №14

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №15

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №16

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №17

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №18

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №19

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №20

Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9), слайд №21

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Определение числового ряда. Сходимость. (Лекция 9). Доклад-сообщение содержит 21 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Ряды Лекция 9

Слайд 2

Описание слайда:

1. Определение числового ряда. Сходимость В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Что понимается под такими суммами? Пусть задана бесконечная числовая последовательность , …, , … Опр. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида (1). Числа , …, , … называются членами ряда, а – общим или n – м членом ряда.

Слайд 3

Описание слайда:

Чтобы задать ряд (1), достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления - го члена ряда по его номеру ( Пример 1. Пусть . Ряд называется гармоническим. Пример 2. Пусть , Ряд называется обобщённым гармоническим рядом. В частном случае при = 1 получается гармонический ряд.

Слайд 4

Описание слайда:

Пример 3. = + () – общий член арифметической прогрессии. Пример 4. Пусть = Ряд + + + …+ + … называется рядом геометрической прогрессии. Из членов ряда (1) образуем числовую последовательность частичных сумм , …, , …, где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е. , , , …., , ….. (5) ,

Слайд 5

Описание слайда:

Числовая последовательность , …, , … при неограниченном возрастании номера может: 1) иметь конечный предел; 2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности). Опр. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (5) имеет конечный предел, т. е. В этом случае число называется суммой ряда (1) и пишется , а число = ⎼ = + + … называют остатком ряда. = =

Слайд 6

Описание слайда:

Опр. Ряд (1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы. Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм. Примеры 1.Ряд 0 + 0 + … + 0+… сходится, его сумма равна нулю = 0). 2.Ряд 1+1+1+…+1+… расходится, = при , то есть = . 3.Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - 1+ … + 1 +… расходится, так как последовательность его частичных сумм ( = 1, = 0, = 1, …) не имеет предела, то есть не существует.

Слайд 7

Описание слайда:

Пример Доказать, что ряд сходится и найти его сумму. Решение. Найдем - ю частичную сумму данного ряда . Общий член ряда представим в виде: . Тогда = = 1 ⎼ , = + = (1 ⎼ ) + ( ⎼ ) = 1 ⎼ , …., = + + +…+ = = (1 ⎼ ) + ( ⎼ ) + ( ⎼ ) + … + ( ) = 1 - Получим = 1 - . Отсюда имеем: . .

Слайд 8

Описание слайда:

Пример. Пусть = - общий член ряда геометрической прогрессии, где ≠ 0, = – знаменатель прогрессии. Найдем сумму первых членов ряда: = , ≠ 1. Запишем формулу в виде: = ⎼ , тогда, если: ||1, то | = и при , т.е. сумма ряда не существует и ряд расходится. 1, то ряд имеет вид +++…, тогда = ⋅ и = = . Значит, ряд расход.

Слайд 9

Описание слайда:

4) 1, то ряд имеет вид +…, тогда = Значит, предела не имеет и ряд расходится. Пример. Определить сумму ряда 1 + + + + … + + … Решение. Имеем геометрическую прогрессию, где = 1,

Слайд 10

Описание слайда:

2. Свойства сходящихся числовых рядов Если ряд = + + +… сходится и его сумма равна , то и ряд = + + +… , где , также сходится и его сумма равна . Но если этот ряд расходится и то и ряд также расходится. 2. Если сходится ряд и сходится ряд ), причем сумма каждого равна соответственно . Замечание. Но сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Слайд 11

Описание слайда:

3. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно. Замечание. Из данного свойства следует, что если ряд сходится, то его остаток при , т.е. =

Слайд 12

Описание слайда:

Необходимый признак сходимости числового ряда Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. = . (Обратная теорема неверна, т.е., если = , то ряд необязательно сходится. Пример: ). Доказательство: Пусть ряд сходится и = . Тогда и = (при и ). Учитывая, что = ⎼ при получаем: ==⎼= = = 0.

Слайд 13

Описание слайда:

Следствие. (Достаточное условие расходимости ряда). Если ≠ или этот предел не существует, то ряд расходится. Доказательство: Действительно, если бы ряд сходился, то по теореме = . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. Пример 1. Исследовать сходимость ряда . Решение. Ряд расходится, т.к. = = 3 ≠ 0.

Слайд 14

Описание слайда:

Пример 2. Исследовать сходимость ряда + + …+ + …. Решение. Ряд расходится, т.к. = = = ≠ 0.

Слайд 15

Описание слайда:

3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов (знакоположительных рядов). Замечание. Знакоотрицательный ряд умножается на (-1), что не влияет на сходимость ряда. Признаки сравнения. Теорема. I признак сравнения. Если 0 ≤ ≤ , начиная с некоторого номера = , и ряд + +… = (2) сходится, то сходится и ряд (1): + + +… Если же ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2). Замечание. В качестве рядов для сравнения можно взять геометрическую прогрессию , которая сходится при ||

Слайд 16

Описание слайда:

Пример. Исследовать сходимость ряда + + + … + + … Решение. = . Сравним его с рядом геометрической прогрессии , который сходится, т.к. =

Слайд 17

Описание слайда:

Теорема. II признак сравнения (предельный признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел = (в частности, ), то ряды и сходятся или расходятся одновременно ( ). Пример. Ряд 1 + + + + … + + … расходится, так как по II признаку сравнения получим ) = = ≠ 0, а гармонический ряд , как известно, расходится.

Слайд 18

Описание слайда:

Признак Даламбера Теорема. Пусть начиная с некоторого номера = , и существует предел = Тогда ряд сходится при

Слайд 19

Описание слайда:

Решение. Выпишем = и = . Найдем = = = = = = = 3 = 3 = = 3 = 3 = 3⋅ = > 1, следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.

Слайд 20

Описание слайда:

Радикальный признак Коши Теорема. Пусть начиная с некоторого номера = , и существует = . Тогда ряд сходится при < 1 и расходится при 1. Если 1, то вопрос открыт. Пример. Исследовать сходимость ряда + + …+ + …. Решение. Выпишем = . Найдем = = = , следовательно, ряд расходится по достаточному признаку расходимости ряда.

Слайд 21

Описание слайда:

Интегральный признак Коши Теорема. Если = (), где функция () > 0, монотонно убывает и непрерывна при 1≤ ≤ , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно. Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда . Решение. Все условия соблюдены для функции () = , поэтому вычислим несобственный интеграл = = = = = +, значит, ряд расходится.