Определение непрерывности функции в точке - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Определение непрерывности функции в точке, слайд №1

Определение непрерывности функции в точке, слайд №2

Определение непрерывности функции в точке, слайд №3

Определение непрерывности функции в точке, слайд №4

Определение непрерывности функции в точке, слайд №5

Определение непрерывности функции в точке, слайд №6

Определение непрерывности функции в точке, слайд №7

Определение непрерывности функции в точке, слайд №8

Определение непрерывности функции в точке, слайд №9

Определение непрерывности функции в точке, слайд №10

Определение непрерывности функции в точке, слайд №11

Определение непрерывности функции в точке, слайд №12

Определение непрерывности функции в точке, слайд №13

Определение непрерывности функции в точке, слайд №14

Определение непрерывности функции в точке, слайд №15

Определение непрерывности функции в точке, слайд №16

Определение непрерывности функции в точке, слайд №17

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Определение непрерывности функции в точке. Доклад-сообщение содержит 17 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 2.4 Определение непрерывности функции в точке Точки разрыва Свойства функций, непрерывных в точке Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке Об ограниченности непрерывной на отрезке функции О достижимости точных граней функцией, непрерывной на отрезке

Слайд 2

Описание слайда:

Определение непрерывности функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если то есть если

Слайд 3

Описание слайда:

Обозначим х = х – а – приращение аргумента. Тогда х = а + х. И непрерывность функции в точке а означает, что приращение функции Обозначим х = х – а – приращение аргумента. Тогда х = а + х. И непрерывность функции в точке а означает, что приращение функции f(а + х) – f(а)  0 при х  0. ПРИМЕР. Покажем, что функция f(x) = х2 непрерывна в любой точке а своей области определения. Найдем приращение функции f(а + х) – f(а) = (а + х)2 – а2 = 2ах + (х)2  0 при х  0. Следовательно, функция непрерывна в точке а.

Слайд 4

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а слева, если ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в правой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а справа, если ТЕОРЕМА. Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

Слайд 5

Описание слайда:

Точки разрыва Пусть функция f(x), определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Точка а называется точкой разрыва функции в следующих случаях: Функция не определена в этой точке; Функция определена в точке а, но не существует существует Различают следующие три типа точек разрыва:

Слайд 6

Описание слайда:

1. Устранимый разрыв. Если существует но функция не определена в этой точке или то а называют точкой устранимого разрыва. ПРИМЕРЫ. 1) 2) f(x) = (signx)2;

Слайд 7

Описание слайда:

2. Разрыв первого рода. Если в точке а существуют но f (a - 0)  f (a + 0), то это точка разрыва первого рода. Разность f (a +0) – f (a – 0) называется скачком функции в точке а. ПРИМЕР.

Слайд 8

Описание слайда:

3. Разрыв второго рода. Если в точке а не существует хотя бы один из односторонних пределов, то это точка разрыва второго рода. ПРИМЕР.

Слайд 9

Описание слайда:

Свойства функций, непрерывных в точке Если функция непрерывна в точке а, то существует такая окрестность этой точки, в которой функция ограничена. Если функция непрерывна в точке а и отлична от нуля, то существует такая окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак числа f (a). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то их сумма, произведение и частное (если g(а)  0) непрерывны в этой точке. 4. Если функция z = f(y) непрерывна в точке yo , а функция y = (x) непрерывна в точке хо, причем yo= (xо), то в некоторой окрестности точки хо определена сложная функция f((x)), непрерывная в точке хо.

Слайд 10

Описание слайда:

Доказательство. Доказательство. Свойства 1 – 3 являются следствием определения непрерывности и соответствующих свойств пределов функции. Докажем свойство 4. Возьмем произвольное число   0. В силу непрерывности функции z = f(y) в точке yo найдется число В силу непрерывности функции y = (x) в точке хо для найденного числа  найдется число Итак, Это значит, что, в силу определения непрерывности, функция f((x)), определенная в окрестности точки хо, непрерывна в точке хо.

Слайд 11

Описание слайда:

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, непрерывна в точке а справа, в точке b слева. Множество функций, непрерывных на [a,b], обозначается как C[a,b]. Об ограниченности непрерывной на отрезке функции ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса) Если f(x)C[a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Слайд 12

Описание слайда:

Доказательство. Доказательство. Предположим, что функция не ограничена сверху на отрезке, т.е. для любого числа n найдется xn[a, b], такое что f(xn)  n. Т.е. найдется такая последовательность значений аргумента {xn}, что соответствующая ей последовательность значений функции {f(xn)} будет бесконечно большой. Эта последовательность значений аргумента ограничена, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, причем В силу непрерывности функции Но как подпоследовательность бесконечно большой последовательности. Полученное противоречие доказывает теорему.

Слайд 13

Описание слайда:

ЗАМЕЧАНИЯ. ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например, функция f(x)=1/х непрерывна на (0, 1], но не ограничена на этом интервале. 2) Теорема не верна для функции, разрывной на отрезке, например

Слайд 14

Описание слайда:

О достижимости функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней О достижимости функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x)C[a, b], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней. Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке, то множество ее значений ограничено и, следовательно, имеет точную верхнюю и нижнюю грани. Пусть Требуется доказать, что на отрезке найдутся точки, значения функции в которых равны m и М. Предположим, что f(x)< M во всех точках отрезка. Введем вспомогательную функцию .

Слайд 15

Описание слайда:

Эта функция непрерывна на отрезке, а значит и ограничена сверху на этом отрезке, то есть существует С > 0, такое что Эта функция непрерывна на отрезке, а значит и ограничена сверху на этом отрезке, то есть существует С > 0, такое что откуда То есть число М не является наименьшей из верхних граней, что противоречит определению точной верхней грани. Следовательно, найдется такая точка х1[a,b], что f(x1)=М. Аналогично доказывается для нижней грани.

Слайд 16

Описание слайда:

ЗАМЕЧАНИЯ. ЗАМЕЧАНИЯ. 1)Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например, функция f(x)= х непрерывна на (0, 1), но не достигает на этом интервале своих точных граней. 2) Теорема не верна для функции, разрывной на отрезке, например