🗊Презентация Пересечения прямой и плоскости, когда плоскость проецирующая

Раздел № 3 Солодухин Е.А.

ОБЯЗАТЕЛЬНО Рассмотреть частный случай ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, когда плоскость проецирующая

Плоскость

Плоскость это один из видов поверхности – плоская поверхность. Плоскость это один из видов поверхности – плоская поверхность.

Способы задания плоскости

Следы плоскости След плоскости – прямая, по которой плоскость пересекается с какой-либо плоскостью проекций - ТП1, ТП2, ТП3. Точки пересечения плоскости с осями координат называются точками схода следов – Тх, Ту, Тz.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость общего положения

Плоскости частного положения

Это плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций

Это плоскости параллельные одной из плоскостей проекций

У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии. У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии.

Прямая на плоскости Прямая принадлежит плос-кости, если две точки прямой принадлежат этой плоскости. l (1,2) Т ⇔ (1Т )  (2Т) Принимаем: плоскость ТАВС. Построить l Т. Первый вариант Задаем: точка 1 принадлежит стороне АВ, точка 2 принадлежит стороне ВС. (1АВ)  (2ВС)

Второй вариант Задаем: точка 1 принадлежит стороне АВ, а точка 2 принадлежит стороне АС, но является несобственной точкой. (1АВ) ; (2АС; 2≡2∞) Следовательно, прямая l параллельна стороне АС. (l ||АС) Т.е. прямая задается одной точкой и направлением l (1,s) 1 l  l ||s В качестве направления может быть выбрана любая прямая, принадлежащая плоскости. В нашем примере sАС, т.е. l ||АС

Главные линии плоскости К главным линиям плоскости относятся прямые уровня - горизонталь, фронталь, профильная прямая, и линии наибольшего наклона плоскости.

Прямые уровня плоскости

Горизонталь плоскости Плоскость ТАВС Построить h Т h  1  h2  x1,2 Задаем h (А,1)

Фронталь плоскости Плоскость ТАВС Построить f Т f  2  f1  x1,2 Задаем f (А,1)

Линии наибольшего наклона плоскости Данные линии применяются для опреде-ления величины угла наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций. В частности, линия наибольшего наклона плоскости, используемая для определения угла наклона к горизонтальной плоскости проекций, получила название линии наибольшего ската плоскости.

Линия наибольшего ската плоскости Т – плоскость общего положения. l – линия наибольшего ската плоскости Т, прямая обще-го положения (l ⊂ Т; l  П1; l  П2). h – горизонталь плоскости Т (h ⊂ Т).

Плоскость ТАВС Плоскость ТАВС Построить проекции линии наибольшего ската l плоскости Т. Так как l Т, то задаем l(В,2) ; 2 АС Строим l1  h1

Точка на плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости

Взаимное положение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пересекающиеся плоскости

Т ∩ P= l(M,N) Т ∩ P= l(M,N) Точки M и N могут быть определены как точки пересечения трех плоскостей М=Т ∩ Р ∩ Δ1; N=Т ∩ Р ∩ Δ2 Δ1 и Δ2 – вспомогательные секущие плоскости - проецирующие. Δ1 ∩ Т=a1 и Δ1 ∩ Р=b1  a1 ∩ b1=М Δ2 ∩ Т=a2 и Δ2 ∩ Р=b2  a2 ∩ b2= N

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: Принадлежать; Быть параллельной; Пересекать; Быть перпендикулярной.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. l ‖Ф  l ‖ m ; m Ф Прямая пересекает плоскость, если она пересекает какую-либо прямую, принадлежащую этой плоскости. l ∩Ф  l ∩ m ; m Ф Прямая принадлежит плоскости, если она тождественна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. l Ф  l ≡ m ; m Ф

Последовательность действий при определении взаимного положения прямой линии и плоскости Пример. Заданы прямая l и плоскость Ф(АВС). Одну из проекций заданной прямой l, которую условно будем называть первой, совместить с одноименной проекцией вспомогательной прямой, например m. Прямую m нужно рассматривать как принадлежащую заданной плоскости Ф( АВС). lk≡ mk ; k =1, 2; m  Ф ( АВС) На рисунке l1≡ m1 Построить недостающую (условно вторую) проекцию вспомогательной прямой m. если (m1≡ l1) то строиться m2; если (m2≡ l2) то строиться m1. 3. На построенной (условно второй) проекции определить взаимное положение прямой l и вспомогательной прямой m. если (m≡ l), то l Ф, если (m ‖ l), то l ‖Ф, если (m ∩ l), то l ∩Ф На примере (l ∩ m=К, К= l ∩Ф ).

Пример 1 1.Выбрано l1≡ m1 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m2. 4. Определяем взаимное положение прямых m2 и l2 m2 ≡ l2 5. Следовательно, l Ф

Пример 2 1.Выбрано l1≡ m1 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m2. 4. Определяем взаимное положение прямых m2 и l2 m2 ∩ l2 = К2 5. Следовательно, l ∩Ф=К

Пример 3 1.Выбрано l2≡ m2 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m1. 4. Определяем взаимное положение прямых m1 и l1 m1 ‖ l1 5. Следовательно, l ‖ Ф

Прямая перпендикулярная плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве прямых, лежащих в плоскости, должны быть использованы только прямые уровня – горизонталь и фронталь. l  T  l  h  l  f ; Т – плоскость общего положения  l – прямая общего положения l  h; h ‖ П1; l  П1 l1  h1 l  f; f ‖ П2; l  П2 l2  f 2

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из плоскостей содержит (проходит через) прямую, перпендикулярную другой плоскости. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из плоскостей содержит (проходит через) прямую, перпендикулярную другой плоскости. Через точку D провести плоскость Р перпендикулярную плоскости Т(АВС). Задаем Р(l∩m); l ∩ m = D Строим l T (Dl; l1h1; l2f2) Строим прямую m (D m).