🗊Презентация Подготовка к ЕГЭ. Задача В13

ПОДГОТОВКА к егэ ЗАДАЧА В13

1. Движение навстречу. Если расстояние между двумя телами равно s, а их скорости v1 и v2 , то время t, через которое они встретятся, находится по формуле t=s/(v1+v2) 1. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. Решение. Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435-6 0 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время t=375/(60+65)=3(ч). Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа проедет 60 · 4 = 240 (км). Ответ. 240.

2. Движение вдогонку. Если расстояние между двумя телами равно s, они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v 1 > v 2 ) так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле t=s/(v1 –v 2) 2. Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам? Решение. Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т.е. 0,3 км, находим по формуле t=0,3/1,5=0.2(ч). Следовательно, это время составляет 12 минут. Ответ. 12.

3 . Движение по окружности (замкнутой трассе) Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v1 и v2 (v1 > v2 ) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v1 - v2 , получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку: t=s/(v1 - v2) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2 соответственно) , то первая точка приближается ко второй со скоростью V 1 - V2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это — то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение 14/(80-x)=2/3, откуда 160 - 2х = 42, т. е. х = 59. Ответ. 59.

4 . Движение по воде В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения — вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения. 4. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс? Решение. Пусть искомая величина равна 2х. Составим по условию задачи уравнение (x/28)+(x/22)+5=30 откуда (x/28)+(x/22)=25, (11x+14x)/(28*11)=25, 25x/308=25, x=308. Значит, искомое расстояние равно 616 км. Ответ:616.

5 . Средняя скорость Напомним, что средняя скорость вычисляется по формуле v = s/t где S — путь, пройденный телом, a t — время, за которое это путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и всё время движения . Например, если путь состоял из двух участков протяженностью s1 и s2, скорости на которых были равны соответственно v1 и v 2 , то S= s1+s2, t=t1+t2, где t1=s1/v1 , t2=s2/v2 5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение. Обозначим длину всей трассы за время t1=s/12, вторую треть – за время t2=s/16, последнюю треть – за время t3=s/24. Значит, время потраченное им на весь путь, равно t1 + t2 + t3, т. е. s/12 +s/16 +s/24 = 9s/48. Поэтому искомая средняя скорость находится по формуле: v = 3s : (9s/48) = 3s∙ (48/9s) = 16 (км/ч). Ответ: 16 .

6. Движение протяженных тел В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние , равное сумме длин поезда и платформы. 6. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров , второй — длиной 80 метров . Сначала второй сухогруз отстает о т первого и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние о т кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго ? Решение. Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х (м/мин) , равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 мину т второй сухогруз проходит расстояние l=400+80+120+600=1200(м). Поэтому x=1200/12=100(м/мин), т. е. 6 км/ч . Ответ. 6 .

7. Задачи на работу Ключевой в задачах на работ у является следующая задача : первый мастер может выполнить некоторую работ у за а часов , а второй мастер — за b часов . За какое время выполнят работ у об а мастера, работая вдвоем? Поскольку объем работы не задан, его можно принять равным единице . Тогда первый мастер за один час выполнит часть работы, равную1 /a, второй — 1/b, а оба мастера — часть работы, равную 1/a+ 1/b Значит, всю работ у они выполнят за время t=1/(1/a+1/b) 7. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того , как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работ у над заказом они довели до конца уже вместе . Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? Решение. За 3 часа первый рабочий сделал 3/15 всей работы . Оставшиеся12/15 работы рабочие делали уже вместе и потратили на это (12/15)/(2/15)=6(ч). Значит, время, затраченное на выполнение всего заказа, составляет 9 часов. Ответ. 9.

8. Задачи на бассейны и трубы Как уже отмечалось, задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Модельная ситуация остается той же, только мастерам будут соответствовать насосы разной производительности, а работа будет заключаться в наполнении бассейна или иного резервуара. 8. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше , чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба? Решение. Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту, x > 0. Тогда вторая труба пропускает x + 6 литров воды в минуту. Составим по условию задачи уравнение 360/x=(360/x+6)+10 откуда, сократив на 10, получим 36/x=(36/x+6)+1 и, следовательно, (36/x)-(36/x+6)=1 Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: (36(x+6)-36x)/x(x+6)=1 откуда x(x+6)=36∙6 и x2+6x-216=0 Корнями полученного квадратного уравнения являются числа -18 и 12, из которых только последнее удовлетворяет условию x > 0. Ответ. 12.

9. Задачи на проценты и доли При решении задач на проценты важно четко понимать, что процент – это просто сотая часть числа. Поэтому, решая даже кажущиеся очень простыми задачи на проценты, следует немножко подумать и посчитать, прежде чем радостно вписывать в бланк неправильный ответ. Разумеется, это относится и к любым другим задачам. Отметим ещё следующее. Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов, а затем уменьшение результата на то же число процентов не приводит к начальной величине: ведь второе действие мы совершаем уже с другой величиной. То же самое можно сказать и об обратной последовательности действий. Любопытно, что в любом слу­чае получим в итоге величину, меньшую начальной. Например, увеличив а на 10%, получим 1,1а. Уменьшив полученную величину на 10%, получим 1.1a*0.9=0.99a - полученная величина меньше начальной на 1%. При этом порядок действий не играет роли: если сначала уменьшить а на 10%, а затем результат увеличить на 10%, получим те же самые 0.99a=0.9a*1.1. В общем случае, при увеличении величины a на k % получим величину а1 = а (1 + k/100). Если же теперь уменьшить a1 на k %, получим величину a 1 =a 2 (1-(k/100))=a (1+(k/100))(1-(k/100) т.е. а2=a(1-(k/100)2)<a.

Задачи на проценты и доли (продолжение) 9. Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки? Решение. Обозначим через Р стоимость одной рубашки, через К — стоимость куртки. Из условия задачи следует, что 5Р = 0,75К, откуда Р = 0,15К, и, следовательно, 7Р = 1,05К. Значит, семь рубашек дороже куртки на 5%. Ответ. 5.

10. Задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Задачи на концентрацию традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников и абитуриентов, кажутся многим из них довольно сложными. В таких задачах речь обычно идет о растворах некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания. Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом (далее кавычки будем опускать). В качестве модельной задачи рассмотрим следующую.Смешали о литров n-процентного водного раствора некоторого вещества с b литрами m-процентного водного раствора этого же вещества. Требуется найти концентрацию получившейся смеси. Воспользуемся ключевой идеей: проследим за изменениями, происходящими с чистым веществом. В первом растворе его было (a/100)∙n=an/100 (литров) во втором растворе — (b/100)∙m=bm/100 (литров) Значит, количество чистого вещества в полученной смеси будет равно an/100+bm/100 (литров)

а всего этой смеси получится а + b литров. Теперь уже найти искомую концентрацию к не представляет труда: а всего этой смеси получится а + b литров. Теперь уже найти искомую концентрацию к не представляет труда: k=((an/100+bm/100)/(a+b))*100=((an+bm)/(a+b))%. Заметим, что растворы в этой задаче можно было бы заменить двумя сплавами разной массы и с разным содержанием чистого вещества (например, одного из двух металлов). Решение при этом практически не изменится, поменяются лишь единицы измерения и названия веществ. 10. Виноград содержит 91 % влаги, а изюм — 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма ? Решение. Используем ключевую идею: будем следить за массой «чистого» , т.е . в данном случае «сухого » вещества в винограде и изюме . Пусть для получения 21 килограмма изюма требуется х кг винограда. Из условия следует, что мас­са «сухого » вещества в х кг винограда равна 0,09х кг. Поскольку эта масса равна массе «сухого» вещества в 21 килограмме изюма, т о по условию задачи можно составить уравнение 0,09 x = 0,93∙21, откуда 9x = 93∙21, т.е . х = 217 кг. Ответ. 217.

11. Арифметическая прогрессия. 11. Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней был покрашен весь забор? Решение. Пусть ребята в первый день покрасили а1 метров забора, во второй — а2 метров и т.д. , в последний — аn метров забора. Тогда a1+an = 20 (м) а за n дней было покрашено S n=((a1+a2)/2)∙n=10n метров забора. Поскольку всего было покрашено 100 метров забора, имеем: 10n = 100, откуда n = 10. Ответ:10

12. Геометрическая прогрессия . 12. У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 20 % на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке ещё один вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44 % на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются? Решение. Через n лет в первом портфеле будет сумма 1000+1000*1.2 +….+1000*1.2n =1000*(1.2n+1 -1/1.2-1)=5000(1.2n+1 -1)(руб.). В это же время во втором портфеле окажется 22200+2200*1.44+ ….+200*1.44n-6 =2200*(1.44n-5-1/1.44-1)=5000(1.44n-5-1) Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение: 5000(1.2n+1 -1) = 5000(1.44n-5-1) Отсюда 1.2n+1=1.44n-5 , или 1,2 n+1=1.2 2(n-5) Значит, n+1=2n-10 т.е . n = 11. Ответ. 11.