🗊Презентация Предел функции. Бесконечно малые функции. 1-ый и 2-ой замечательные пределы.

Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 4. Предел функции. Бесконечно малые функции. 1-ый и 2-ой замечательные пределы. Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г. Екатеринбург - 2012

Рекомендуемая литература Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с. Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Содержание лекции §1. Предел функции 1.1. Предел функции в точке 1.2. Односторонние пределы 1.3. Предел функции при x   1.4. Бесконечно большая функция §2. Бесконечно малые функции 2.1. Определение и основные теоремы 2.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией 2.3. Основные теоремы о пределах 2.4. Признаки существования пределов §3. 1-ый и 2-ой замечательные пределы

§1. Предел функции 1.1. Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0. Df: (на «языке последовательностей» или по Гейне): Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, сходящейся к x0, последовательность соответствующих значений функции fn = f(xn), сходится к числу A: = A. (1) Df: (на «языке » или по Коши): Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого числа  > 0 найдется такое положительное число  = () > 0, что при всех 0 < |x  x0| <  выполняется неравенство: |f(x) – A| < . (2) Краткая запись этого определения с использованием кванторов имеет вид: ( > 0  = () > 0 x: 0 < |x  x0| <   |f(x) – A| < )   = A.

1.2. Односторонние пределы Df: Число A1 называется пределом функции y = f(x) в точке x0 слева, если для любого числа  > 0 найдется такое положительное число  = () > 0, что x  (x0  ; x0) выполняется неравенство: |f(x) – A1| < . (3) Краткая запись с помощью кванторов: ( > 0  = () > 0 x  (x0 ; x0)  |f(x) – a| < )  = A1. Df: Число A2 называется пределом функции y = f(x) в точке x0 справа, если для любого числа  > 0 найдется такое число  = () > 0, что x  (x0; x0 + ) выполняется неравенство: |f(x) – A2| < . (4) Краткая запись: ( > 0  = () > 0 x  (x0; x0 + )  |f(x) – a| < )  = A2.

1.2. Односторонние пределы (продолжение) Df: Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Т е о р е м а 1: Пусть функция f(x) определена в некоторой области D  R. Для существования (полного) предела = A в точке x0  D необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны оба односторонних предела: = A1 = A2 = . Доказательство: СРС. З а м е ч а н и е: Если A1  A2 или хотя бы один из двусторонних пределов в точке x0 не существует, то не существует и полный предел .

1.2. Односторонние пределы (продолжение) П р и м е р 1: Функция f(x) = sgn(x) («знак x»), рис. 1, определяется на всей числовой оси R следующим образом: f(x) = sgn(x) = . Рис. 1 Очевидно, в данном случае = A1  A2 = , поэтому не существует. К сказанному можно добавить, что значение функции в точке x = 0 не совпадает ни с A1, ни с A2.

1.3. Предел функции при x   Пусть функция y = f(x) определена в бесконечном промежутке x  (; ). Df: Число A называется пределом функции y = f(x) при x  , если для любого числа  > 0 найдется такое положительное число M = M() > 0, что при всех x, удовлетворяющих неравенству |x| > M выполняется неравенство: |f(x) – A| < : = A. Аналогично определяются пределы функции y = f(x) при x   и при x  +.

1.4. Бесконечно большая функция Df: Функция y = f(x) называется бесконечно большой при x  x0, если для любого числа M > 0 найдется такое положительное число  = (M) > 0, что при всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x  x0| <  выполняется неравенство: |f(x)| > M. Записывают это так: = . Df: Функция y = f(x) называется бесконечно большой при x  , если для любого числа M > 0 найдется такое положительное число N = N(M) > 0, что при всех |x| > N выполняется неравенство: |f(x)| > M. Записывают это так: = . Аналогично определяются бесконечные пределы функции y = f(x) при x   и при x  +.

§2. Бесконечно малые функции 2.1. Определение и основные теоремы Df: Функция y = f(x) называется бесконечно малой функций (б.м.ф.) при x  x0, если = 0. Иными словами, функция y = f(x) называется бесконечно малой при x  x0, если для любого числа  > 0 найдется такое число  = () > 0, что при всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x  x0| <  выполняется неравенство: |f(x)| < . Аналогично определяются бесконечно малые функции (б.м.ф.) при x  x00, x  x0+0, x  , x  +: во всех этих случаях f(x)  0. Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или, просто, бесконечно малыми; б.м.ф. обычно обозначают малыми греческими буквами: (x), (x), … Например, б.м.ф. являются функции (x) = x2 при x  0, (x) = x  2 при x  2, последовательность n = xn = и т.д.

2.1. …основные теоремы о б.м.ф. (продолжение) Т е о р е м а 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Доказательство: Пусть (x) и (x)  две б.м.ф. при x  x0. Это значит, что для любого  > 0 найдется такое  > 0, что при всех x таких, что 0 < |x  x0| < , одновременно выполнены оба неравенства: |(x)| < ½ , |(x)| < ½ . Тогда, с учетом известного свойства модуля числа: |a + b|  |a| + |b|, имеем оценку: |(x) + (x)|  |(x)| + |(x)| < ½  + ½  = . Это, по определению, и означает, что = 0, т.е. что сумма б.м.ф. является б.м.ф., ч.т.д. П р и м е ч а н и е. Доказанную теорему можно легко обобщить на любое конечное число слагаемых б.м.ф.

2.1. …основные теоремы о б.м.ф. (продолжение) Т е о р е м а 3. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция. Доказательство: Пусть функция f(x) ограничена при x  x0. Тогда существует такое число M > 0, что |f(x)| < M, как только |x  x0| < 1, где 1 = 1(M) > 0. Пусть (x)  б.м.ф. при x  x0. Тогда  > 0 найдется такое 2 > 0, что при всех x таких, что |x  x0| < 2, выполнено неравенство: |(x)| < . Обозначим  = min{1, 2}. Тогда, с учетом свойств модуля, для всех x таких, что |x  x0| < , выполнено неравенство |f(x)(x)| = |f(x)||(x)| < M = . Это, по определению, и означает, что = 0, т.е. что произведение является б.м.ф., ч.т.д. С л е д с т в и е 1. Всякая б.м.ф. является ограниченной. Поэтому произведение двух (и более) б.м.ф. является б.м.ф. С л е д с т в и е 2. Произведение б.м.ф. на число является б.м.ф.

2.1. …основные теоремы о б.м.ф. (продолжение) Т е о р е м а 4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция. Доказательство: Пусть (x)  б.м.ф. при x  x0, т.е. = 0. Пусть функция f(x) имеет отличный от нуля предел при x  x0. Тогда частное (x)/f(x)  можно представить в виде произведения б.м.ф (x) на функцию . Докажем, что функция f(x) ограничена при x  x0. Пусть = a. Выберем 0 <  < |a|. Тогда найдется такое число  = () > 0, что как только 0 < |x  x0| < , будет выполнено неравенство |f(x)  a| < . Тогда, с учетом известного свойства модуля числа |a|  |f(x)|  |f(x)  a| < , имеем оценку, |f(x)| > |a|   > 0. Отсюда вытекает неравенство || = < = M > 0, свидетельствующее об ограниченности функции 1/f(x). По теореме 3 заключаем, что = 0, т.е. что частное (x)/f(x), где = a  0, есть б.м.ф., ч.т.д.

2.1. …основные теоремы о б.м.ф. (продолжение) Т е о р е м а 5. Если функция (x)  б.м.ф., то функция 1/(x)  б.б.ф., и наоборот, если функция f(x)  б.б.ф., то функция 1/f(x)  б.м.ф., . Доказательство: СРС. П р и м е р 2. Показать, что функция f(x) = (x )2sin3 при x  1 является бесконечно малой. Решение: Так как = 0, то функция (x) = (x )2 является б.м.ф. при x  1. Функция sin3, в любом случае является ограниченной: |sin|  1. На основании теоремы 3 заключаем, что функция f(x) при x  1 является б.м.ф.

2.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Т е о р е м а 6. Если функция f(x) имеет предел, равный A, то ее можно представить как сумму числа A и бесконечно малой функции (x), т.е. если = A, то f(x) = A + (x). Доказательство: Т.к. = A, то, по определению,  > 0 найдется такое  = () > 0, что как только |x – x0| < , выполнено неравенство |f(x) – A| < , т.е. |f(x) – A – 0| < . Последнее означает, что  A) = 0, т.е. функция (x) = f(x)  A является б.м.ф. при x  x0. Отсюда f(x) = A + (x), ч.т.д. Справедлива и обратная теорема: Т е о р е м а 7. Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа A и бесконечно малой функции (x), т.е. если f(x) = A + (x), то = A. Доказательство: СРС.

2.3. Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы о пределах, которые облегчают нахождение пределов функций. Формулировка и доказательство теорем для случаев x  x0 и x  , аналогичны. Будем считать, что все упомянутые ниже пределы существуют.

2.3. Основные теоремы о пределах (продолжение) Т е о р е м а 8. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: =  . Доказательство: Рассмотрим для определенности случай «+». Пусть = A и = B. По теореме 6 функции f(x) и (x) можно представить в виде сумм их пределов A и B и соответствующих бесконечно малых функций (x) и (x), т.е. f(x) = A + (x) и (x) = B + (x): f(x) + (x) = A + B + (x) + (x), где (x) + (x) – б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 7: = A + B = + , ч.т.д. З а м е ч а н и я: 1) В случае «» теорема доказывается аналогично. 2) Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

2.3. Основные теоремы о пределах (продолжение) Т е о р е м а 9. Функция может иметь только один предел. Доказательство: Пусть у рассматриваемой функции f(x) есть два предела: = A и = B. На основании теоремы 7: = A  B = , т.е. A = B, ч.т.д. Т е о р е м а 10. Предел произведения двух функций равен произведению пределов: =  . Доказательство: Пусть = A и = B. Тогда f(x) = A + (x) и (x) = B + (x), где (x) и (x) – б.м.ф. Отсюда f(x)(x) = (A + (x))(B + (x)) = AB + A(x) + B(x) + (x)(x), так что произведение f(x)(x) = AB + б.м.ф., т.е. = AB = , ч.т.д.

2.3. Основные теоремы о пределах (продолжение) Из теоремы 10 вытекают два следствия, широко используемые на практике. С л е д с т в и е 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: = . С л е д с т в и е 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: = .

2.3. Основные теоремы о пределах (продолжение) Т е о р е м а 11. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, при условии, предел знаменателя отличен от нуля: = /  0. Доказательство: Доказательство аналогично предыдущим случаям. Пусть = A и = B. Тогда f(x) = A + (x) и (x) = B + (x), где (x) и (x) – б.м.ф. Отсюда = = +  = + , так что отношение f(x)/(x) = A/B + б.м.ф., т.е. = A/B = , ч.т.д.

2.3. Основные теоремы о пределах (продолжение) П р и м е р 3. Вычислить предел: . Решение: Нетрудно видеть, что = 0 и = 0, так что применить теорему о пределе отношения функций нельзя. В этом случае говорят о раскрытии неопределенности вида {0/0}. Заметим, что x2 + 14x  32 = (x  2)(x + 16) и x2  6x + 8 = (x  2)(x  4), поэтому = = = = = 9. Ответ: = 9.

К. Вейерштрасс. Краткая биография

К. Вейерштрасс. Краткая биография

К. Вейерштрасс. Краткая биография

К. Вейерштрасс. Краткая биография

К. Вейерштрасс. Краткая биография

Спасибо за внимание! Ваши вопросы, замечания, предложения …