🗊 Правильные многогранники 10 класс

Содержание:

Введение «Живые источники математического творчества неотделимы от интереса познания природы». Таковыми источниками мы можем назвать многогранники. В данном проекте подробно исследуем три вида этих замечательных геометрических тел – тетраэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Актуальность исследования Актуальность данного исследования состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен. Чем же обусловлен столь бессмертный интерес? Считается, что в основе строения Платоновых тел заложены пропорции всего, из чего состоит мир. Поэтому эти уникальные фигуры и получили название «ключей мироздания».

Основополагающий вопрос: в чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел? Основополагающий вопрос: в чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел? Гипотеза: правильные многогранники не только занимательные геометрические фигуры, но и часть жизни человека.

Объект исследования: правильные многогранники – тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Предмет исследования: аналоги правильных многогранников в нашей жизни. Цель работы: показать связь математики и жизни, используя электронные средства; сделать сухие факты, изложенные математическим языком более яркими и интересными; понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу. Объект исследования: правильные многогранники – тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Предмет исследования: аналоги правильных многогранников в нашей жизни. Цель работы: показать связь математики и жизни, используя электронные средства; сделать сухие факты, изложенные математическим языком более яркими и интересными; понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу.

1. Изучение особенностей строения правильных многогранников; 2. Исследование аналогов многогранников в природе; 3. Анализ полученных исследований; 4. Понятие о роли Золотой пропорции в правильных многогранниках; 5. Выявление связи геометрии и природы.

Методы исследования: Эмпирические: сравнение, математические расчёты; Теоретические: анализ полученных данных, восхождение от абстрактного к конкретному; Общие методы: применение аналога трёхмерного изображения.

Великие люди, изучавшие правильные многогранники

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. Многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. Многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое - каждая вершина может принадлежать трем и более граням (рассмотрим развёртки). Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое - каждая вершина может принадлежать трем и более граням (рассмотрим развёртки).

Замечательные свойства многогранников Если центры граней правильного многогранника принять за вершины нового многогранника, то получится правильный многогранник, дуальный (двойственный) исходному. Октаэдру двойственен куб. Несложно догадаться, что тетраэдр дуален сам себе. Так что, в одном из смыслов, получаем три типа правильных многогранников. Понятно, правда, что никакого философского смысла в этом нет, а только геометрический.

Тетраэдр

Египетские пирамиды – аналоги тетраэдра

Теория Море Аббат Море, директор Буржской обсерватории во Франции, утверждал, что, если сложить четыре основания пирамиды Хуфу, то мы получим периметр, который нужно разделить на 2 высоты пирамиды. Тем самым (по утверждению Море) мы получим число π. Давайте попробуем сами доказать эту теорию!

Собственное доказательство теории Море 1) Сложим четыре основания пирамиды: 230,38 • 4 = 921,52 м – периметр. 2) Разделим полученный периметр на удвоенное произведение высоты пирамиды: 921,52 : (2 • 146,6) = 3,1429 – приближённое значение числа π.

Но на этом секреты Великой пирамиды не заканчиваются… Обмеры пирамид показывают, что все величины пирамиды соответствуют «золотому сечению». Стены пирамиды поднимаются под углом 52 градуса. Этот угол воплощает в пирамиде математическое значение числа "пи", но что еще более важно, только при угле в 52 градуса отношение высоты пирамиды к периметру ее основания в точности равно отношению диаметра окружности к ее длине. Геометрические параметры пирамиды с углом 52 градуса отвечают условиям "золотого сечения".

Золотая пропорция «Золотая» пропорция — это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к меньшей, как целое относится к большей: b / a = (a + b) / b      

Октаэдр Октаэдр - воздух

Гексаэдр (куб) Гексаэдр (куб) (от греческого hex — шесть и hedra — грань) - правильный многогранник, составленный из 6 квадратов. Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма углов при вершине равна 180 °. У гексаэдра 12 ребер.

Икосаэдр Икосаэдр (от греческого ico – двадцать и hedra – грань). Правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°. У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

Икосаэдр в природе Исключительностью икосаэдра среди Платоновых тел воспользовались вирусы. По-видимому, тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр?

Додекаэдр Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной 3 пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Додекаэдр в природе (фуллерен)

Кристаллы Кристаллы — тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) — природная модель додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” — огонь) — сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита часто достигают нескольких сантиметров и являются хорошим коллекционным материалом. От других подобных ему минералов отличается твердостью: царапает стекло.

Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией.

Иллюстрации Леонардо да Винчи Четыре многогранника олицетворяли четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх. Куб – землю, как самый «устойчивый». Икосаэдр – воду, так как он самый «обтекаемый». Октаэдр – воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник «додекаэдр» воплощал в себе «всё сущее»; символизировал всё мироздание, считался главным.

Кеплер Иоганн (1571-1630г) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр («Гармония мира», 1619г.) И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами. Кеплер Иоганн (1571-1630г) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр («Гармония мира», 1619г.) И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами.

Додекаэдро-икосаэдрическая доктрина

Додекаэдро-икосаэдрическая доктрина Додекаэдрическая структура, по мнению Д. Винтера (американского математика), присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. Структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

Многогранники в искусстве

Заключение

Список использованной литературы А. Деко «Великие загадки истории», Москва «Вече», 2006 г. «Я познаю мир. Загадки истории», Москва «АСТ» 2002 г. Интернет-ресурсы

Спасибо за внимание!