🗊Презентация Применение линейного программирования в математических моделях

Лекция 3. Применение линейного программирования в математических моделях Содержание лекции: Принцип оптимальности в планировании и управлении Задача линейного программирования Симплексный метод Экономические приложения линейного программирования Программное обеспечение линейного программирования

Литература Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — глава 2. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1960. Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA: Методические указания для студентов экономического факультета / РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева. М., 2005. http://svetlov.timacad.ru/umk1/xa_1.doc

3.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении Принцип оптимальности предполагает следующее: наличие определённых ресурсов наличие определённых технологических возможностей цель хозяйственной деятельности извлечение прибыли удовлетворение потребностей предотвращение угрозы накопление знаний и т.д. Суть принципа: планировать хозяйственную деятельность таким образом, чтобы при имеющихся ресурсах и технологиях не существовало способа достичь цели в большей степени, чем это предусматривает план В полной мере этот принцип может быть реализован только с помощью экономико-математических моделей

3.2. Задача линейного программирования Это развёрнутая форма записи

3.2. Задача линейного программирования Это каноническая форма записи

3.2. Задача линейного программирования Это матричная форма записи Она тождественна канонической форме

3.2. Задача линейного программирования Это стандартная форма записи

3.2. Любой вектор x, удовлетворяющий ограничениям и условиям неотрицательности (безотносительно к целевой функции), называется допустимым решением Если допустимых решений не существует, говорят, что система ограничений несовместна Областью допустимых решений (ОДР) называется множество, включающее все допустимые решения данной ЗЛП Допустимое решение x*, доставляющее наибольшее значение целевой функции среди всех допустимых решений данной ЗЛП, называется оптимальным решением часто его называют просто решением ЗЛП

3.2. ЗЛП может: не иметь ни одного оптимального решения допустимой области не существует – система ограничений не совместна z = max(x1+x2|x1+5x2  1, x1+x2  5, x1  0, x2  0) допустимая область существует, но не ограничивает целевую функцию z = max(2x1+x2|0.1x1+0.1x2  5, x1  0, x2  0) иметь одно оптимальное решение z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2  5, x1  0, x2  0) x1=50, x2 =0; z = 50 иметь бесконечно много оптимальных решений z = max(x1+x2|0.1x1+0.1x2  5, x1  0, x2  0) x1=50, x2 =0; z = 50 … x1=0, x2 =50; z = 50

3.2. z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2  5, x1  0, x2  0) x1=50, x2 =0; z = 50

3.2. z = max(x1+x2|0.1x1+0.1x2  5, x1  0, x2  0) x1=50, x2 =0; z = 50 … x1=0, x2 =50; z = 50

3.2. z = max(x1+x2|x1+5x2  1, x1+x2  5, x1  0, x2  0)

3.2. z = max(2x1+x2|0.1x1+0.1x2  5, x1  0, x2  0)

3.3. Симплексный метод Исходные условия применения симплексного метода ЗЛП записана в канонической форме Её ограничения линейно независимы Известно опорное решение, в котором: имеется не более m ненулевых переменных задача содержит n переменных и m ограничений все ограничения выполняются m переменных, называемых базисными (среди которых все ненулевые) выражены через: n–m переменных, называемых свободными (каждая равна нулю) свободный член ограничения Результат этой процедуры записан в начальную (первую, исходную) симплексную таблицу

3.3. z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2  5, x1–2x2  75, x1  0, x2  0) x1=50, x2 =0; z = 50 Каноническая форма: max x1+x2 0.1x1+0.2x2+x3 = 5 x1–2x2 +x4 = 75 x1  0, x2  0, x3  0, x4  0

3.3. Разрешающий столбец: столбец с наибольшим положительным cj если положительного cj нет, достигнут оптимум Разрешающая строка: для всех положительных aij в выбранном столбце считаем bi /aij если положительных нет, ц.ф. не ограничена выбираем строку, где это значение минимально

3.3. Выполняем обыкновенные жордановы исключения во всей таблице: для строк i i' : aijнов = aij – ai'jaij' /ai'j' , где i' и j' – координаты выбранных (разрешающих) строки и столбца для строки i =i' : aijнов = aij /ai'j'

3.3. Опорное решение может быть получено по следующей процедуре: Выбираем произвольный набор базисных переменных и выражаем их через свободные Если строк с отрицательными свободными членами нет – опорное решение получено; иначе – п.3. Одну из таких строк выбираем в качестве вспомогательной целевой функции и проводим по ней процедуру решения на минимум, используя алгоритм симплекс-метода Если в качестве разрешающей выбирается строка с отрицательным свободным членом, то разрешающий элемент тоже должен быть отрицательным для всех aij в выбранном столбце считаем bi /aij наименьшее положительное значение этого отношения указывает разрешающую строку если положительных нет, выбираем другую строку с отрицательным свободным членом в качестве вспомогательной целевой функции если таковых не находится, опорных решений не существует (целевая функция не ограничена множеством допустимых решений) Если оптимум достигнут при отрицательном свободном члене – система ограничений несовместна; иначе – п.5 Как только достигнуто положительное значение свободного члена, переходим к п.2.

3.3. В некоторых случаях алгоритм симплексного метода может зацикливаться. Пути преодоления этой проблемы описаны в рекомендуемой литературе.

3.4. Экономические приложения линейного программирования

3.4. Экономические приложения линейного программирования

3.5. Программное обеспечение линейного программирования

3.5. Два способа установки XA Если есть права доступа к каталогу C:\WINDOWS копируем туда файлы CXA32.DLL и CAXA32.DLL Иначе копируем файлы CXA32.DLL и CAXA32.DLL в ту папку, в которой решаем модель после вызова файла модели нажимаем кнопку и указываем расположение любого из этих файлов это действие повторяется при каждом вызове Excel Антивирус Касперского блокирует выполнение XA При первом вызове программы следует в ответ на предупреждение антивируса дать ему указание разрешать выполнение данной программы