симметрич оператор - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему симметрич оператор. Доклад-сообщение содержит 17 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Симметрический оператор 1. Симметрическая матрица 2. Симметрический оператор

Слайд 2

Описание слайда:

1. Симметрическая матрица Определение 1.1. Действительная матрица A называется симметрической, если Из определения следует, что симметрическая матрица – квадратная матрица. Элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали

Слайд 3

Описание слайда:

Примеры.

Слайд 4

Описание слайда:

Теорема 1.2. Пусть A – симметрическая матрица, тогда все собственные значения этой матрицы – действительные числа. Для каждого собственного значения матрицы найдется собственный вектор с действительными координатами. Доказательство (от противного). 1. Пусть v – собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению λ: А v = λ v . Предположим, что λ – комплексное число. Перейдем к сопряженным числам: Умножим скалярно на v:

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

2. Пусть v – комплексный собственный вектор матрицы А, отвечающий действительному собственному значению λ: А v = λ v . Перейдем к сопряженным числам: Тогда и - действительный собственный вектор. QED

Слайд 7

Описание слайда:

2. Симметрический оператор Определение 2.1. Линейный оператор евклидова пространства Е называется симметрическим, если для любых векторов выполняется

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема 2.2. Линейный оператор в евклидовом пространстве является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в произвольном ортонормированном базисе симметрична. Доказательство.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Теорема 2.4. Собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство. Пусть

Слайд 12

Описание слайда:

Теорема 2.5. Для любого симметрического линейного оператора евклидова пространства существует ортонормированный базис пространства , составленный из собственных векторов этого оператора. Доказательство (индукция по размерности пространства). n=1. Тогда любой ненулевой вектор v является и базисным, и собственным вектором, отвечающим некоторому собственному значению . Нормируем вектор v, получаем ортонормированный базис из собственного вектора. Допустим, утверждение верно для пространств размерности n-1.

Слайд 13

Описание слайда:

Перейдем к пространству Е размерности n. Пусть b – собственный вектор, отвечающий некоторому собственному значению. Нормируем этот вектор, получаем единичный собственный вектор . Дополним до базиса всего пространства, получим . Запускаем процесс ортогонализации, начиная с вектора , получим ортогональный базис . Векторы образуют ортогональный базис n-1 – мерного подпространства М, причем вектор . Пространство М замкнуто относительно оператора и, по индукционному предположению, содержит ортонормированный базис из собственных векторов . Тогда есть искомый базис. QED ератора (L замкнуто относительно оператора). векторВыберем в нем подпространство L размерности n-1, тогда в этом подпространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов симметрического оператора (L замкнуто относительно оператора). Перейдем к пространству Е размерности n. Выберем в нем подпространство L размерности n-1, тогда в этом подпространстве существует ортонормированныбазис из собственных векторов симметрического оп

Слайд 14

Описание слайда:

Следствие 2.6. Матрица симметрического линейного оператора с помощью соответственного выбора ортонормированного базиса, может быть приведена к диагональному виду. Следствие 2.7. Всякая симметрическая матрица S подобна диагональной D , у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы S и где P – ортогональная матрица.

Слайд 15

Описание слайда:

Пример. В некотором ортонормированном базисе в R3 линейное преобразование φ задано матрицей Найти для φ ортонормированный базис из собственных векторов и записать в нем матрицу преобразования. Шаг1. Нахождение СЗ

Слайд 16

Описание слайда:

Шаг2. Нахождение СВ Система уравнений для собственных векторов: В качестве первого вектора берем Второй линейно независимый собственный вектор ищем ортогональный к первому, т.е. как решение системы Например