Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений

Нажмите для полного просмотра!

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №2

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №3

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №4

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №5

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №6

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №7

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №8

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №9

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №10

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №11

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №12

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №13

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №14

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №15

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №16

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №17

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №18

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №19

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №20

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №21

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений, слайд №22

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Доклад-сообщение содержит 22 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 4. 4. Системы дифференциальных уравнений. 4.1. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Существуют процессы, где одной функции недостаточно для описания процесса. Далее - независимая переменная; (или если функций не больше трех) - неизвестные функции. Определение. Системой дифференциальных уравнений называют совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимые переменные, искомые функции и их производные.

Слайд 2

Описание слайда:

Примеры. 1) 2) Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при подстановке в уравнения превращает их в тождества. Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида

Слайд 3

Описание слайда:

Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе. Пример. Некоторые системы дифференциальных уравнений нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем. Пример.

Слайд 4

Описание слайда:

Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе. Пример. Введем дополнительные функции Тогда Одно дифференциальное уравнение - го порядка может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений. Пример.

Слайд 5

Описание слайда:

Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы. Пример

Слайд 6

Описание слайда:

Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению. Пример Первое уравнение не зависит от остальных.

Слайд 7

Описание слайда:

Теорема. Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений имеет вид где - произвольные постоянные. могут входить не во все уравнения. Задание начальных условий дает частное решение системы дифференциальных уравнений

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема. Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений то в достаточно малом интервале существует единственная система функций являющаяся решением системы и удовлетворяющая начальным условиям.

Слайд 9

Описание слайда:

4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений. Однородная система линейных дифференциальных уравнений где - непрерывные функции. 1) Если известно частное решение системы линейных дифференциальных уравнений то тоже является решением системы, где - произвольная постоянная.

Слайд 10

Описание слайда:

2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и то тоже является решением системы. 3) Если известны частных решений системы …; то (*) тоже является решением системы линейных дифференциальных уравнений. Совокупность n линейно независимых решений образует фундаментальную систему решений. Решение (*) является общим решением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Слайд 11

Описание слайда:

Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений есть сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Слайд 12

Описание слайда:

При заданных начальных условиях можно получить частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подставить начальные условия в общее решение системы (*). Получим алгебраическую систему уравнений Решая систему, получим частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы система алгебраических уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы определитель

Слайд 13

Описание слайда:

4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений Систему можно свести к одному дифференциальному уравнению - го порядка. Будем искать частные решения в виде где - неопределенные постоянные.

Слайд 14

Описание слайда:

Дифференцируя, получим Отсюда Чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, определитель системы равнялся нулю Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение.

Слайд 15

Описание слайда:

Предположим, что корни действительные и простые. Рассмотрим решение на примере системы трех уравнений. Пусть корень равен Определитель системы равен нулю. Примем, что если - простой корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го порядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений следует из остальных. Решение системы зависит от одной произвольной постоянной. Пусть первые два уравнения линейно независимы. Тогда одно из решений будет Все остальные решения получаются умножением чисел на одну и ту же произвольную постоянную.

Слайд 16

Описание слайда:

Поступая так со всеми корнями характеристического уравнения, найдем три системы функций, каждая из которых является решением системы линейных дифференциальных уравнений Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений имеет вид