Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина

Нажмите для полного просмотра!

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №2

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №3

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №4

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №5

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №6

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №7

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №8

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №9

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №10

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №11

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №12

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №13

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №14

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №15

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №16

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №17

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №18

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №19

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №20

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №21

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №22

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №23

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №24

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №25

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №26

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №27

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №28

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №29

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №30

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №31

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №32

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №33

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №34

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №35

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №36

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №37

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №38

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №39

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №40

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №41

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №42

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №43

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина, слайд №44

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина. Доклад-сообщение содержит 44 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Тригонометрические выражения и их преобразования. 9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина Ашотовна

Слайд 2

Описание слайда:

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов (не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).

Слайд 3

Описание слайда:

Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол с неподвижным радиусом OA.Он может быть расположен в 1-ой четверти ( COA ), во 2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти (EOA ) или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.

Слайд 4

Описание слайда:

Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга.

Слайд 5

Описание слайда:

Линия синуса угла ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла ( рис.4 ) – это отрезок OB на линиисинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла - отрезок OAлинии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.

Слайд 6

Описание слайда:

Линия тангенса ( рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра. Линия котангенса ( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра. Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса. Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга

Слайд 7

Описание слайда:

Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.

Слайд 8

Описание слайда:

Тригонометрические функции острого угла Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника ( рис.2 ):

Слайд 9

Описание слайда:

Тригонометрические функции острого угла: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. 1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c . 2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c . 3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = a / b . 4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a . 5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b . 6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a .

Слайд 10

Описание слайда:

Прямоугольный треугольник ABC ( рис.2 ) имеет катеты: a = 4, b = 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A. Р е ш е н и е . Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора: c 2 = a 2 + b 2 , Согласно вышеприведенным формулам имеем: sin A = a / c = 4 / 5; cos A = b / c = 3 / 5; tan A = a / b = 4 / 3.

Слайд 11

Описание слайда:

Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице:

Слайд 12

Описание слайда:

Углы 0° и 90°, строго говоря, не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций эти углы также рассматриваются. Символ в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению.

Слайд 13

Описание слайда:

Решение прямоугольных треугольников По двум сторонам. По стороне и острому углу. По двум сторонам. Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона вычисляется по теореме Пифагора. Острые углы могут быть определены по одной из трёх первых формул для тригонометрических функций в зависимости от того, какие стороны известны. Например, если заданы катеты a и b , то угол A определяется по формуле: tan A = a / b .

Слайд 14

Описание слайда:

П р и м е р 1.Катет a = 0.324, гипотенуза c = 0.544. Найти второй катет b и углы A и B. Р е ш е н и е .Катет b равен:

Слайд 15

Описание слайда:

П р и м е р 2. Даны два катета: a = 7.2 см, b = 6.4 см. Найти гипотенузу и углы A и B. Р е ш е н и е .Гипотенуза c равна:

Слайд 16

Описание слайда:

По стороне и острому углу. . Если задан один острый угол A, то другой острый угол B находится из равенства: B = 90° - A. Стороны находятся по формулам тригонометрических функций, переписанных в виде: a = c sin A , b = c cos A , a = b tan A , b = c sin B , a = c cos B , b = a tan B . Остаётся выбрать те формулы, которые содержат заданную или уже найденную сторону.

Слайд 17

Описание слайда:

П р и м е р . Дано: гипотенуза c = 13.65 м и острый угол A = 54°17’. Найти другой острый угол B и катеты a и b .

Слайд 18

Описание слайда:

Радианное и градусное измерение углов Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “ ).

Слайд 19

Описание слайда:

Радианная мера . Как мы знаем из планиметрии длина дуги l , радиус r и соответствующий центральный угол а связаны соотношением: а = l / r . Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то а = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: а = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Слайд 20

Описание слайда:

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом: 2 = C / r . Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана, и обратно:

Слайд 21

Описание слайда:

Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

Слайд 22

Описание слайда:

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Эти формулы являются основными тригонометрическими тождествами.

Слайд 23

Описание слайда:

п-33. Формулы приведения

Слайд 24

Описание слайда:

п-33. Формулы приведения

Слайд 25

Описание слайда:

п-33. Формулы приведения Эти формулы позволяют: 1) найти численные значения тригонометрических функций углов, бо’льших 90°; 2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям; 3) избавиться от отрицательных углов и углов, бо’льших 360°.

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

п 34. Формулы сложения и вычитания

Слайд 28

Описание слайда:

п 34. Формулы сложения и вычитания

Слайд 29

Описание слайда:

Основные соотношения между элементами треугольника. Теорема косинусов. Теорема синусов. Теорема тангенсов. Формулы площади, формула Герона. Радиусы описанного и вписанного кругов Обозначения: a, b, c – стороны; A, B, C – углы; p = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр; h –высота; S – площадь; R – радиус описанного круга; r – радиус вписанного круга.

Слайд 30

Описание слайда:

Теорема косинусов:

Слайд 31

Описание слайда:

Теорема синусов:

Слайд 32

Описание слайда:

Теорема тангенсов:

Слайд 33

Описание слайда:

Формулы площади, формула Герона:

Слайд 34

Описание слайда:

Радиусы описанного и вписанного кругов:

Слайд 35

Описание слайда:

Решение косоугольных треугольников. Заданы три стороны a, b, c . Найти углы A, B, C. По теореме косинусов находим один из углов:

Слайд 36

Описание слайда:

второй угол находим по теореме синусов:

Слайд 37

Описание слайда:

П р и м е р . Заданы три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.

Слайд 38

Описание слайда:

Дано: две стороны a и b и угол C между ними. Найти сторону c и углы A и B. По теореме косинусов находим сторону c : c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ; а затем по теореме синусов – угол A : здесь необходимо подчеркнуть, что A – острый угол, если b / a > cos C, и тупой угол, если b / a

Слайд 39

Описание слайда:

Заданы любые два угла и сторона. Найти третий угол и две другие стороны. Очевидно, что третий угол вычисляется по формуле: A+ B+ C = 180°, и тогда используя теорему синусов, мы найдём две другие стороны. Даны две стороны a и b и угол B, противоположный одной из них. Найти сторону c и углы A и C. Сначала по теореме синусов найдём угол A:

Слайд 40

Описание слайда:

Здесь возможны следующие случаи: 1) a > b ; a · sin B > b – здесь решения нет; 2) a > b ; a · sin B = b – здесь одно решение, A – прямой угол; 3) a > b ; a · sin B

Слайд 41

Описание слайда:

После нахождения угла A, найдём третий угол: C = 180° - ( A+ B ). Если A может иметь два значения, то и C может иметь два значения. Теперь по теореме синусов можно найти третью сторону:

Слайд 42

Описание слайда:

Если угол C имеет два значения, то и сторона c имеет два значения, следовательно, заданным условиям удовлетворяют два различных треугольника. Дано: a = 5, b = 3, B = 30°. Найти сторону c и углы A и C.