Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции

Нажмите для полного просмотра!

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №2

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №3

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №4

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №5

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №6

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №7

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №8

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №9

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №10

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №11

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №12

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №13

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №14

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции, слайд №15

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции. Доклад-сообщение содержит 15 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 3.7 Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции. Общая схема исследования и построения графиков функций одной переменной.

Слайд 2

Описание слайда:

Направление выпуклости графика функции. Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала (а,b). Тогда существует касательная к графику функции, проходящая через любую точку М(x,f(x)) этого графика, причем эта касательная не параллельна оси Оу. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График функции f(x) имеет на интервале (а,b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если в пределах этого интервала он расположен не выше (не ниже) любой своей касательной.

Слайд 3

Описание слайда:

ТЕОРЕМА. ТЕОРЕМА. Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f ´´(x)  0 ( f ´´(x)  0) во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вверх (вниз). Доказательство. Пусть f ´´(x)  0 на (а, b). Возьмём произвольную точку x0(а, b). Уравнение касательной к графику функции в точке М(x0, f(x0)) имеет вид Yкас= f(x0) + f ( x0)(x – x0). Запишем для f(x) формулу Тейлора первого порядка в окрестности точки x0: f(x) = f(x0) + f ( x0)(x – x0) + f ()(х – x0)2/2. Отсюда следует, что f(x) – Yкас = f  ()(х – x0)2/2  0 во всех точках интервала, то есть график лежит не выше касательной.

Слайд 4

Описание слайда:

Точки перегиба графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка М( х0, f(х0 )) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует окрестность точки х0 оси ОХ, в пределах которой слева и справа от х0 график функции имеет разные направления выпуклости.

Слайд 5

Описание слайда:

ТЕОРЕМА (необходимое условие перегиба графика функции, имеющей непрерывную вторую производную). Если М(x0, f(x0)) точка перегиба графика функции у = f(x) и функция имеет в этой точке непрерывную вторую производную, то f ´´(x0) = 0. Доказательство. Предположим, что f ´´(x0)  0. Так как, по условию теоремы, f ´´(x) непрерывна в точке x0, то найдется такая окрестность этой точки, в которой f ´´(x) сохраняет знак числа f ´´(x0). Следовательно, функция сохраняет направление выпуклости в этой окрестности, что противоречит определению точки перегиба.

Слайд 6

Описание слайда:

Достаточные условия перегиба. Достаточные условия перегиба. ТЕОРЕМА 1. Пусть у = f(x) непрерывна в точке x0, дважды дифференцируема в окрестности этой точки и график функции имеет касательную в точке М(x0, f(x0)). Если в пределах этой окрестности f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции. Доказательство. Так как f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то направление выпуклости слева и справа от точки различно, то есть М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.

Слайд 7

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 2. ТЕОРЕМА 2. Если f ´´(x0) = 0, а f (3)( x0)  0, то x0 – точка перегиба графика функции. Доказательство. Запишем для f(x) формулу Тейлора третьего порядка в окрестности точки x0: f(x) = f(x0) + f ( x0)(x – x0) + f  (x0)(х – x0)3/6 + о((х – x0)3). f(x) – Yкас = f ( x0)/6 (1+ о(1)) (x– x0)3. Выражение в правой части равенства имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то есть при переходе через точку x0 график функции меняет направление выпуклости и М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.

Слайд 8

Описание слайда:

ПРИМЕР. ПРИМЕР. Найдем направления выпуклости и точки перегиба графика функции Вычислим производные первого и второго порядка: Здесь y  (x)   при х  0 и график функции в точке х = 0 имеет вертикальную касательную. Вторая производная в точке х = 0 не определена, а при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. Итак, точка х = 0 – точка перегиба.

Слайд 9

Описание слайда:

Общая схема построения графика функции. Изучение заданной функции f(x) и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке: Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической. Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0. Найти асимптоты графика. Сделать приблизительный эскиз графика. Вычислить первую производную, найти точки экстремума и промежутки возрастания (убывания) функции. Вычислить вторую производную, найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх или вниз функции. Окончательно вычертить график.

Слайд 10

Описание слайда:

ПРИМЕР. ПРИМЕР. Провести полное исследование функции и построить ее график. Область определения функции D(f) = (–, –1)  (– 1, + ). Функция общего вида. Найдем нули функции, решив уравнение f(x) = 0  x = 0. Отметим на числовой прямой промежутки знакопостоянства функции:

Слайд 11

Описание слайда:

Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые пределы. В результате получим: Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые пределы. В результате получим: х = – 1 – вертикальная асимптота; у = х – 2 – наклонная асимптота графика функции как при х - , так и при х + . На основе полученной информации построим приблизительный эскиз графика:

Слайд 12

Описание слайда:

Вычислим первую производную функции Вычислим первую производную функции Найдем критические точки производной и отметим их на числовой прямой. Расставим знаки производной в полученных интервалах и укажем направления возрастания-убывания функции. Вычислим значение функции в обнаруженной точке максимума: f(-3) = – 6.75

Слайд 13

Описание слайда:

Найдем вторую производную функции Найдем вторую производную функции Отметим на числовой прямой критические точки второй производной. Расставим знаки второй производной в полученных интервалах и укажем направления выпуклости функции. Окончательно построим график: