🗊Презентация Параллельный перенос

Параллельный перенос

Параллельный перенос Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры F переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a, b, c – постоянные. Параллельный перенос в пространстве задаётся формулами х1=х+а, у1=у+b, z1=z+c.

Свойства параллельного переноса Сформулируем некоторые свойства параллельного переноса: 1.Параллельные перенос есть движение. 2.При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 3.При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя). 4.Каковы бы ни были две точки А и А1, существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А1. 5.При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскостью

Параллельный перенос является движением Докажем, что параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор

Рассмотрим вектор

Так как , значит . Мы доказали, что при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется, значит, параллельный перенос является движением.

Преобразования подобия

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, У. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением. Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k-ОХ, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

Гомотетия - есть преобразования подобия. Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и У — две произвольные точки фигуры (рис. 235).

При гомотетии точки X к Y переходят в точки X' и У на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k.OX, OY'= = k.OY. Отсюда следуют векторные равенства Вычитая эти равенства почленно, получим: Значит, |X'Y'|=-k |ХУ|, т. е. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Конец.