ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №5

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №9

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №10

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №11

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №12

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №13

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №14

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №15

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №16

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №17

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №18

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №19

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №20

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №21

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, слайд №22

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Доклад-сообщение содержит 22 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Слайд 2

Описание слайда:

Лекция 3.1 Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Правила дифференцирования.

Слайд 3

Описание слайда:

Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в U(x0), называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение при переходе из точки хо в точку х = х0+х можно представить в виде y = f(x0 + x) – f(x0) = А(x0)x + о(x) при х, где А(x0) – не зависит от x . Главная линейная относительно x часть приращения функции А(x0)x – называется дифференциалом функции в точке х0 при приращении x и обозначается df(х0; x) или df(х0) или df или dу. Таким образом y = f(x0 + x) – f(x0) = df(х0; x) + о(x) при х.

Слайд 4

Описание слайда:

Определение производной функции в точке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция f(x) определена в U(x0) и х – произвольная точка этой окрестности. Если существует предел отношения при х  х 0, то этот предел называется производной функции f(x) в точке х0 и обозначается f '(x0), то есть Пусть x = x – x0 – приращение аргумента при переходе из точки х0 в точку х, а y = f(x0+x) – f(x0) – соответствующее приращение функции. Тогда предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Слайд 5

Описание слайда:

Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке. ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. При этом дифференциал и производная связаны равенством: df(х0; x) = f '(x0) х. Доказательство. Необходимость. Пусть f(x) дифференцируема в точке xo, то есть y = f(x0 + x) – f(x0) = А(x0)x + о(x) при х  , откуда y /x = А(x0) + о(1) при х, следовательно существует то есть функция имеет в точке x0 производную f '(x0) = А(x0).

Слайд 6

Описание слайда:

Достаточность. Достаточность. Пусть f(x) имеет производную в точке xo, то есть существует Следовательно y /x = f '(x0) + о(1) при х  , откуда y = f '(x0) х + о(х) при х  , то есть функция дифференцируема в точке x0 и df(х0; x) = f '(x0) х. ЗАМЕЧАНИЕ. Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Слайд 7

Описание слайда:

ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. Приращение х часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x0 можно записать в виде df(х0) = f '(x0) dх. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx: dy = f '(x) dx. Отсюда, в частности, получается выражение для производной То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Слайд 8

Описание слайда:

Непрерывность дифференцируемой функции. ТЕОРЕМА. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть существует Тогда Отсюда получим, что f (x) – f (x0) = (f '(x0) + о(1)) (х – х0)  0 при х  х0 . то есть f(x) непрерывна в точке x0.

Слайд 9

Описание слайда:

ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в этой точке производной. Пример 1. f (x) = х . Функция непрерывна в точке х = 0. Рассмотрим

Слайд 10

Описание слайда:

Пример 2. Пример 2.

Слайд 11

Описание слайда:

Геометрический смысл производной и дифференциала. Пусть функция f(x) определена в U(x0) и дифференцируема в точке х0.

Слайд 12

Описание слайда:

Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей Если функция дифференцируема в точке х0, то в уравнении секущей у/х  f (x0) при х   и уравнение касательной имеет вид у = у0 + f (x0) (х – х0). Если же у/х   при х  , то прямая х = х0 , получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной касательной к графику функции в точке М0. Нормалью к графику функции в точке М0 называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку М0. Ее уравнение имеет вид у = у0 – 1/f (x0) (х – х0).

Слайд 13

Описание слайда:

Из уравнения касательной, в частности, получим Из уравнения касательной, в частности, получим у – у0 = f (x0) (х – х0) = df(х0) – приращение ординаты касательной при переходе из точки х0 в точку х.

Слайд 14

Описание слайда:

Физические приложения производной и дифференциала. Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, то S '(t) – мгновенная скорость материальной точки, а dS = S '(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t. Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q '(t) = I – сила тока. Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N '(t) – скорость химической реакции.

Слайд 15

Описание слайда:

Правила дифференцирования. Дифференцирование суммы, произведения и частного ТЕОРЕМА . Если функции f и g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, fg, f /g (если g(x)  0) и при этом (f(х) + g(х))' = f '(х) + g '(х) (f(х)g(х))' = f '(х)g(х) + f (х)g '(х) (f (х) /g(х))' = (f '(х)g(х) – f (х)g'(х))/g2(х) Следствие. Доказательство теоремы.

Слайд 16

Описание слайда:

Пусть у = fg. Тогда Пусть у = fg. Тогда Пусть у = f / g. Тогда

Слайд 17

Описание слайда:

Дифференцирование обратной функции Дифференцирование обратной функции ТЕОРЕМА Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [x0- , x0 + ] и имеет производную f '(x0)  , тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у0 = f(x0), причем g '(y0) = 1/ f '(x0). Доказательство. Пусть f(x) строго возрастает на отрезке [x0- , x0+ ]. Пусть  = f(x0- ),  = f(x0+ ). Тогда на отрезке [, ] определена обратная функция x = g(y), непрерывная и строго возрастающая, причем f(x0) (, ).

Слайд 18

Описание слайда:

Заметим, что у  0, если х  0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому при у  0 имеем: Заметим, что у  0, если х  0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому при у  0 имеем: Пусть у  , тогда и х   , так как функция x = g(y) непрерывна в точке у0. Но если х  , то существует Итак, правая часть тождества имеет предел, равный 1/f ' (x0). Следовательно, существует и

Слайд 19

Описание слайда:

Дифференцирование сложной функции Дифференцирование сложной функции ТЕОРЕМА Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке x0, у0 = f(x0), а функция x =  (t) дифференцируема в точке t0 , x0 =  ( to). Тогда сложная функция у = f ( (t)) дифференцируема в точке t0 и f 't ( ( t0)) = f 'x (x0)· 't ( t0) или Доказательство. y = f(x) – f(x0) = f '(x0)x + о(x) при х  , x =  (t) –  (t0) =  '(t0)t + о(t) при t  , y = f ( (t)) – f ( (t0)) = f '(x0)(  '(t0 )t + о(t)) + о(x) = = f '(x0) '( t0 )t + f '(x0)о(t)+ о(x)

Слайд 20

Описание слайда:

Здесь х  при t в силу непрерывности функции  (t) в точке t0. при t. Следовательно

Слайд 21

Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Слайд 22

Описание слайда:

ЗАМЕЧАНИЕ 2. ЗАМЕЧАНИЕ 2. y = f(xo + x) – f(xo) = f '(xo) x + о(x) ≈ f '(xo) x  f(xo + x) ≈ f(xo) + f '(xo) x. Последнюю формулу можно использовать для вычисления приближенного значения f(xo + x) при малых x, если известны значения f(xo) и f '(xo). Пример.