🗊Презентация Элементы комбинаторики. Сочетания

Раздел программы: Элементы комбинаторики. Тема: «Сочетания»

Цель урока: способствовать формированию умений и навыков, носящих общенаучный и общеинтеллектуальный характер; способствовать развитию теоретического, творческого мышления, формированию операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений нестандартных задач.

Задачи урока: Образовательные: обобщить и систематизировать знания по теме, научить решать задачи. Воспитательные: способствовать формированию познавательного интереса к обучению, научного мировоззрения; создать условия для проявления самостоятельности, настойчивости. Развивающие: способствовать развитию исследовательских способностей, умения видеть проблему, анализировать ситуацию, находить пути решения проблемы; способствовать развитию коммуникативных способностей, навыков взаимодействия; способствовать развитию активности, инициативности.

I. Организационный момент Комбинаторика - область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов. Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. С помощью формул, которые выводятся в комбинаторике, можно быстро определить число исходов опыта. Это особенно важно, если число исходов опыта велико - простое перечисление исходов может привести к ошибке. Сегодня мы познакомимся с таким комбинаторным понятием, как сочетание

II. Актуализация опорных знаний 1.Объясните, в чем состоит комбинаторное правило умножения, используемое для подсчета числа возможных вариантов. (Пусть имеется n элементов, и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д.)

2.Что называется перестановкой из n элементов? (Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке). Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов. (Pn= n!)

3. Что называется размещением из n элементов по k? (Размещением из n элементов по k называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов). Запишите формулу для вычисления числа размещения из n элементов по k. (Ank=n(n-1) (n-2)x…x(n-(k-1)).

4.Из города (А) в город (В) ведут 3 дороги, из города (В) в город (С) 5 дорог из города (С) до пристани 2 дороги. Туристы хотят проехать из города (А) через город В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут? 5.Сколько различных четырёхзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 1, 2, 4, 5.

III. Работа над новым материалом Пример 1 Пусть в коробке находится пять пронумерованных шаров {1,2,3,4,5}. Перечислите все способы выбора двух шаров из этих пяти. Каждому способу выбора двух шаров из пяти соответствует некоторое двухэлементное подмножество пятиэлементного множества. Перечислим эти подмножества:

Обратите внимание, что подмножества (2,1) и (1,2) содержат один и тот же набор элементов и поэтому отождествляются

Числом сочетаний из n элементов m (обозначается: ( читается "це из эн по эм") называется число м-элементных подмножеств n-элементного множества. Буква C выбрана для обозначения числа сочетаний в связи тем, что по-французски слово "сочетание" - "combinaison" - начинается с этой буквы. В предыдущем примере мы нашли число сочетаний из 5 по 2: Для вычисления числа сочетаний существует очень удобная и красивая формула. Чтобы ею пользоваться, надо сначала ввести одно обозначение - факториал. Определение 2.3. Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n В случае, если n=0, по определению полагается: 0! = 1 Пример 2 Найдем значения следующих выражений: 1! = 1 2! = 1 * 2 = 2 3! = 1 * 2 * 3 = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 =

Теорема 2.1. Число сочетаний из n по m находится по следующей формуле: В примере 1 мы нашли значение Проверим этот результат с помощью формулы (2.1): Заметим, что то - же самое значение мы получим, если будем находить Действительно,В общем случае нетрудно заметить, что правая часть формулы (2.1) будет одной и той же для выражений , поэтому справедлива формула:

Пример 3 Рассмотрим задачу: Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадет рядовой Иванов? А в скольких случаях не попадет? Пример 4 Работа по учебнику стр49

VI. Физминутка V. Закрепление нового материала 1.Выполнить № 9.57на доске и в тетрадях 2. Решить с комментированием № 9.58 3.Самостоятельно выполнить № 9.62(один уч-ся работает под ширмой ) VI. Первичный контроль знаний умений и навыков. Тест а) Самостоятельная работа б) Взаимопроверка теста Критерии оценивания: 3 задания – «3»; 6Заданий – «4» 8 заданий – «5». VII. Итог урока VIII. Д/З: Повторить п. 26; п.4; №9.16; № 9.36; Задания из сборника ГИА А17; А18