Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал

Нажмите для полного просмотра!

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №2

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №3

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №4

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №5

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №6

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №7

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №8

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №9

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №10

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №11

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №12

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №13

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №14

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №15

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №16

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №17

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №18

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №19

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №20

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №21

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №22

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №23

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №24

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №25

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №26

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №27

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №28

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №29

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №30

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №31

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №32

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №33

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №34

Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал, слайд №35

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал. Доклад-сообщение содержит 35 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Глава 8. Интервальное оценивание параметров распределения случайных величин 8.1. Доверительный интервал

Слайд 2

Описание слайда:

Точечная оценка параметра (даже если она несмещенная и эффективная) не позволяет судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра. Т.к. оценка является случайной величиной, то невозможно точно определить величину разности , характеризующую отклонение оценки параметра от его истинного значения. Точечная оценка параметра (даже если она несмещенная и эффективная) не позволяет судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра. Т.к. оценка является случайной величиной, то невозможно точно определить величину разности , характеризующую отклонение оценки параметра от его истинного значения.

Слайд 3

Описание слайда:

Однако, – случайная величина, следовательно можно найти некоторую область реализации оценки , которая с вероятностью, близкой к 1, Р=1 –  содержит истинное значение параметра . Эту область можно определить соотношением Однако, – случайная величина, следовательно можно найти некоторую область реализации оценки , которая с вероятностью, близкой к 1, Р=1 –  содержит истинное значение параметра . Эту область можно определить соотношением , где величина t/2 говорит о том, что вероятность того, что абсолютная величина превысит t/2 , равна .

Слайд 4

Описание слайда:

Типичные значения величины : 0,05; 0,01; 0,001. Типичные значения величины : 0,05; 0,01; 0,001. Иногда эту величину выражают в процентах и называют процентным уровнем значимости. Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством ,

Слайд 5

Описание слайда:

тогда тогда . Положительная величина t/2 характеризует точность оценки , вероятность Р=1– – надежность, а интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью, называют доверительным интервалом.

Слайд 6

Описание слайда:

8.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения

Слайд 7

Описание слайда:

Рассмотрим оценку математического ожидания mx нормально распределенной случайной величины Х с известной дисперсией 2. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то выборочное среднее будет также распределено по нормальному закону с математическим ожиданием mx и дисперсией 2/n:

Слайд 8

Описание слайда:

Введем случайную величину которая имеет нормированное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Слайд 9

Описание слайда:

Тогда вероятность Р=1 –  того, что СВ t не отклонится от своего математического ожидания на величину, больше чем t/2 находится по формуле: Тогда вероятность Р=1 –  того, что СВ t не отклонится от своего математического ожидания на величину, больше чем t/2 находится по формуле: Р{– t/2 t/2}=Ф*(t/2) – Ф*(– t/2)=1 – .

Слайд 10

Описание слайда:

Принимая во внимание, что функция распределения Ф*(t) связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями: Принимая во внимание, что функция распределения Ф*(t) связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями: Ф(t)=0,5+ Ф*(t), Ф(t)=0,5 – Ф*(t), поэтому Р{– t/2 t/2}=2Ф(t/2)=1 –  . Поскольку функция Ф(t) непрерывна и возрастает на интервале [0,) от 0 до 0,5, то для любого числа , удовлетворяющего неравенству 0

Слайд 11

Описание слайда:

Для заданной вероятности Р = 1 –  по таблице значений функции Лапласа Ф(t) можно найти соответствующее значение t/2 . Для заданной вероятности Р = 1 –  по таблице значений функции Лапласа Ф(t) можно найти соответствующее значение t/2 . С надежностью Р=1 –  можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр mx с точностью

Слайд 12

Описание слайда:

Таким образом, доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к 1, вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра mx: Таким образом, доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к 1, вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра mx: Из этого соотношения видно что, чем точнее при данном значении  мы хотим оценить среднее значение, тем больше n экспериментов необходимо провести.

Слайд 13

Описание слайда:

С увеличением надежности (уменьшением ) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если задать точность  и вероятность , то можно найти минимальный объем выборки n который обеспечит заданную точность : С увеличением надежности (уменьшением ) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если задать точность  и вероятность , то можно найти минимальный объем выборки n который обеспечит заданную точность :

Слайд 14

Описание слайда:

Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют также доверительными границами. Если величина Х распреде-лена не по нормальному закону распреде-ления, то поскольку величина представ-ляет собой сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n  30) ее закон распределения близок к нормальному. Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют также доверительными границами. Если величина Х распреде-лена не по нормальному закону распреде-ления, то поскольку величина представ-ляет собой сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n  30) ее закон распределения близок к нормальному.

Слайд 15

Описание слайда:

Теперь рассмотрим оценку математического ожидания mx нормально распределенной случайной величины Х с неизвестной дисперсией 2. Для оценивания дисперсии 2 используем оценку .

Слайд 16

Описание слайда:

Величина при этих условиях имеет t-распределение (распределение Стьюдента) с k=n–1.

Слайд 17

Описание слайда:

Для нахождения доверительного интервала значения mx: Для нахождения доверительного интервала значения mx: задаемся надежностью Р=1– по таблице t-распределения для уровня значимости /2 (соответствующего односторонней критической области); из условия P{t

Слайд 18

Описание слайда:

8.3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения Рассмотрим построение доверительного интервала дисперсии нормально распределенной случайной величины Х при неизвестном математическом ожидании.

Слайд 19

Описание слайда:

Для этого используем соотношение: Для этого используем соотношение: Из указанного отношения можно определить величину имеющую k = n – 1 степеней свободы.

Слайд 20

Описание слайда:

Таким образом, если математическое ожидание неизвестно, то случайная величина 2 распределена по закону 2 с Таким образом, если математическое ожидание неизвестно, то случайная величина 2 распределена по закону 2 с k = n – 1 степенями свободы. Так как случайная величина 2 неотрицательна, а плотность распределения p(2) несим-метричная (см.рис.), то доверительный интервал будем определять из условия или

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

откуда получаем откуда получаем Следовательно, интервал

Слайд 23

Описание слайда:

есть доверительный интервал для дисперсии 2 с надежностью Р=1 – , а интервал есть доверительный интервал для дисперсии 2 с надежностью Р=1 – , а интервал представляет собой доверительный интервал для стандартного отклонения  с надежностью Р=1 – . Значения определяем из таблиц 2 распределения из условия .

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

Глава 9. Проверка статистических гипотез

Слайд 26

Описание слайда:

9.1. Постановка задачи. Основные понятия и определения 9.1. Постановка задачи. Основные понятия и определения Всякое предположение о законе распределения или параметрах закона распределения СВ Х будем называть статистической гипотезой (СГ). Задачу установления истинности гипотез по выборке наблюдений будем называть проверкой статистических гипотез.

Слайд 27

Описание слайда:

СГ являются, например, предположения: СГ являются, например, предположения: 1. Закон распределения наблюдаемой СВ является нормальным; 2. МО наблюдаемой нормально распределенной СВ равно заданному числу; 3. Дисперсия и МО наблюдаемой нормально распределенной СВ принимают заданные значения. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

Слайд 28

Описание слайда:

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Основная задача теории проверки гипотез состоит в разработке методов построения наиболее подходящих критических и допустимых областей, обеспечивающих наилучшее различение гипотез. При проверке гипотез возникают ошибки двух родов: – ошибка 1 рода – отклонение истинной гипотезы; – ошибка 2 рода – принятие ложной гипотезы.

Слайд 29

Описание слайда:

Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной.

Слайд 30

Описание слайда:

С расширением области ошибка 1 рода растет, а ошибка 2 рода падает. С расширением области ошибка 1 рода растет, а ошибка 2 рода падает. Условные вероятности  и  вероятности ошибок первого и второго рода соответственно. Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения.

Слайд 31

Описание слайда:

Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Слайд 32

Описание слайда:

Процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: Процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: 1) выбирается статистический критерий К; 2) вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке; 3) поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости α) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = α, то справа от

Слайд 33

Описание слайда:

kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы); kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы); 4) если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается. Различают разные виды критических областей: – правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > kкр ( kкр > 0);

Слайд 34

Описание слайда:

– левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр (kкр k1). Параметр  называют уровнем значимости или размером критерия проверки гипотезы Hi (размером критической области ).

Слайд 35

Описание слайда:

Параметр 1 –  равный условной вероятности отклонения гипотезы Hi , когда она ошибочна, называют мощностью критерия ее проверки. Параметр 1 –  равный условной вероятности отклонения гипотезы Hi , когда она ошибочна, называют мощностью критерия ее проверки. Вероятности  и  связаны между собой через область критическую область . С возрастанием  параметр  уменьшается, и наоборот, уменьшению  соответствует возрастание .