🗊Презентация Системы случайных величин

Об авторах Автор презентации: Котов Александр Ильич Оформление презентации: Котова Нина Александровна

Системы случайных величин. (Краткое напоминание) Совокупность двух случайных величин {X,Y}, определенных на одном и том же вероятностном пространстве {Ω,F,P} и рассматриваемых совместно называется системой двух случайных величин или случайным вектором или двумерной случайной величиной. (аналогично определяется система трех и более случайных величин)

Функция распределения Функцией распределения F(x,y) системы двух случайных величин {X,Y} называется вероятность совместного выполнения двух событий: (X<x) и (Y<y), то есть F(x,y) = P((X<x)∩(Y<y)) Геометрически F(x,y) характеризует вероятность попадания точки (X,Y) в область, закрашенную на рисунке в зелёный цвет (исключая границу, окрашенную красным цветом)

Дискретным случайным вектором называется такой случайный вектор, который может принимать значения только из заранее известной таблицы – конечной или бесконечной. Дискретным случайным вектором называется такой случайный вектор, который может принимать значения только из заранее известной таблицы – конечной или бесконечной. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если она принимает любое значение из некоторой области DєR2 и существует функция p(x,y)≥0 такая, что выполнены два условия: и Функция p(x,y) называется функцией плотности распределения. Равносильным определением функции плотности является где производные понимаются как обобщенные .

Условные обозначения: СВ – случайная величина. НСВ - непрерывная случайная величина. ДСВ – дискретная случайная величина. ССВ – система случайных величин. НССВ – система непрерывных случайных величин. ДССВ - система дискретных случайных величин. ФР – функция распределения. ПР – плотность распределения.

Пример непрерывного распределения случайного вектора.

Еще один пример непрерывного распределения случайного вектора.

Пример распределения дискретного случайного вектора. Система дискретных случайных величин задана таблицей распределения. В таблице указаны вероятности событий, заключающихся в том, что случайный вектор примет соответствующее значение. Сумма вероятностей в таблице точно равна единице.

Функции F1(x)=F(x,+∞) и F2(x)=F(+∞,y) называются частными (маргинальными) функциями распределения составляющих систему случайных величин. Функции F1(x)=F(x,+∞) и F2(x)=F(+∞,y) называются частными (маргинальными) функциями распределения составляющих систему случайных величин. Для систем непрерывных случайных величин определяются частные (маргинальные) функции плотности: Условными функциями распределения называются функции: Fy(x)=P((X<x)∩(Y=y)) и Fx(y)=P((Y<y)∩(X=x)) Для систем непрерывных случайных величин определяются условные плотности распределения:

Имеют место следующие равенства: Имеют место следующие равенства: p(x,y)=py(x)p2(y) p(x,y)=px(y)p1(y)

Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин. Две случайные величины, входящие в систему случайных величин называются независимыми, если условная функция распределения одной из них не зависит от значения, принимаемого другой случайной величиной. Теорема: Для того, чтобы две случайных величины были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы случайных величин могла быть представлена в виде произведения двух частных функций распределения:

Зависимость и независимость случайных величин, входящих в состав систем случайных величин (продолжение) Теорема: Для того, чтобы две непрерывные случайные величины были независимыми необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы непрерывных случайных величин могла быть представлена в виде произведения двух частных плотностей распределения: В этом случае:

Числовые характеристики систем случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариацией cov(X,Y) (или Kxy) двух случайных величин называется их центральный смешанный момент: Для систем непрерывных случайных величин имеют место формулы:

Для систем дискретных случайных величин имеют место формулы: Для систем дискретных случайных величин имеют место формулы: Здесь суммирование ведется по всем «клеткам» таблицы распределения. Индекс I – номер значения ДСВ X, а индекс j - номер значения ДСВ Y. Вспомните задачу номер 8 из контрольной работы по теории вероятностей!

Коэффициентом корреляции r(X.Y) двух случайных величин называется величина Коэффициентом корреляции r(X.Y) двух случайных величин называется величина Если ковариация равна нулю, то X и Y называются некоррелированными. Если две случайные величины независимы, то они и некоррелированные. Обратное утверждение, в общем случае, неверно. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости.

Регрессия. Условным математическим ожиданием случайной величины Y - ExY называется ее математическое ожидание, вычисленное по условному закону распределения, при условии, что случайная величина X приняла значение x. Например, для систем непрерывных случайных величин X,Y имеет место формула:

Регрессия (продолжение). Условное математическое ожидание случайной величины Y - ExY при заданном значении x называется регрессией Y на x. График зависимости ExY от величины x называется линией регрессии, или кривой регрессии Y на x. Регрессия X на y определяется аналогично. Для независимых случайных величин линии регрессии параллельны координатным осям. Обратное утверждение неверно. Если случайная величина Y есть неслучайная функция СВ X, то линия регрессии Y на x будет просто графиком этой неслучайной функции.

Литература. Литература. 1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М. Наука, 1976. 2. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М. Наука, 1988. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Высш.шк.,2001 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.:Высш.шк.,2001 5. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей М.:Высш. шк.,2002 6. Курзенев В.А. Основы матеметической статистики для управленцев. СпБ, СЗАГС 2002.