🗊Презентация Использование производной для нахождения оптимального решения в прикладных задачах

Функция задана на отрезке [4;9]. Укажите для нее количество промежутков возрастания, количество точек минимума.

Функция задана на промежутке (-1;12). По ее графику определите количество промежутков убывания, количество точек максимума.

Тема урока: Использование производной для нахождения оптимального решения в прикладных задачах (Задачи на максимум и минимум).

Задача. Представить число 76 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 2:3. Решение. x>0 – коэффициент пропорциональности, 2x - первое слагаемое, 3x – второе слагаемое. 76-2x-3x=76-5x – третье слагаемое, 76-5x> 0, x<15,2. Сумма квадратов этих трех чисел равна (2x)2+(3x)2+(76-5x)2 = 38x2-760x+76 Сумма квадратов трех чисел будет наименьшей при том значении x, при котором функция f(x)= 38x2-760x+76 на интервале(0;15,2) достигает своего наименьшего значения. f '(x)=76x-760=76(x-10), f '(x)=0 при x=10.   Эта функция принимает наименьшее значение на промежутке (0;15,2) при x=10, т.к. эта точка является точкой минимума и единственной точкой экстремума функции f(x) на этом промежутке.

Или: Сумма квадратов этих трех чисел равна (2x)2+(3x)2+(76-5x)2 = 38x2-760x+76 ²= 38(x2-20x+152)= 38((x-10)2+52). Сумма квадратов трех чисел будет наименьшей при том значении x, при котором функция f(x)=38((x-10)2 +52) на интервале(0;15,2) достигает своего наименьшего значения. Для любого xЄR эта функция принимает наименьшее значение только при x=10. Т.к. 10Є(0;15,2), то на промежутке (0;15,2) существует единственная точка x=10, в которой функция достигает своего наименьшего значения. Следовательно, число 76 можно единственным образом представить в виде суммы согласно условиям задачи так: 76=20+30+26. Ответ: 76=20+30+26.  

Этапы решения задачи на максимум и минимум Ввести переменную x, от значения которой зависит исследуемая величина - та, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение. Определить границы изменения переменной x–промежуток x. Выразить через x величину, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение (получить функцию f(x)). Исследовать функцию f(x), заданную на x, найти ее критические точки, точки локального максимума (минимума). Объяснить, почему в точке локального максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Интерпретировать результаты исследования функции f(x) с точки зрения решаемой задачи.

Итог урока Что узнали нового? В чем из пройденного удалось разобраться лучше? Что осталось неясным? Что запомнилось из урока, понравилось?