🗊Презентация Лінійна крайова задача для звичайного диференціального рівняння другого порядку

КУРСОВА РОБОТА з дисципліни «Методи обчислення» за темою: «Лінійна крайова задача для звичайного диференціального рівняння другого порядку» Студента групи ПМ-12-1д Бажана Станіслава

Бурхливий розвиток обчислювальної техніки у 50-60-х роках минулого століття наклав свій відбиток на обчислювальну математику, предметом якої є чисельні методи та питання їх обґрунтування. Бурхливий розвиток обчислювальної техніки у 50-60-х роках минулого століття наклав свій відбиток на обчислювальну математику, предметом якої є чисельні методи та питання їх обґрунтування.

Інженеру часто доводиться зіштовхуватись з диференційними рівняннями і системами диференційних рівнянь при розробці нових виробів чи технологічних процесів, так як більша частина законів фізики формалізується саме у вигляді диференційних рівнянь. Інженеру часто доводиться зіштовхуватись з диференційними рівняннями і системами диференційних рівнянь при розробці нових виробів чи технологічних процесів, так як більша частина законів фізики формалізується саме у вигляді диференційних рівнянь.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Завдання 2

Рівняння, у якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням. Рівняння, у якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням.

Методи розв’язку рівнянь: Метод стрільби; Метод прогонки; Метод зведення до задачі Коші; Різницевий метод.

Метод стрільби крайову задачу можна звести до задачі Коши за допомогою початкових умов Знайшовши розв’язок  можна поставити другі граничні умови   і отримати другий розв’язок  . Якщо   а  при чому   то розв’язок

Метод прогонки

Метод зведення до задачі Коші. Дана крайова задача: крайова задача, що розглядається, зводиться до наступних двох задач Коші: Тоді

Різницевий метод Нехай крайові умови задаються у вигляді Вважаючи ,роблячи заміну похідних різницевими відношеннями приведемо його до вигляду

Далі розв’язання складається з двох етапів. Далі розв’язання складається з двох етапів. 1. По наступним рекурентним формулам обчислюються допоміжні величини 2. Згідно з формулою обчислюються значення шуканої функції на заключних етапах обчислень використовують наступні формули:

Вирішення крайової задачі Введемо різницеву сітку на відрізку [a,b]. Введемо різницеву апроксимацію похідних наступним чином

Підставивши апроксимації похідних отримуємо систему рівнянь для находження : Підставивши апроксимації похідних отримуємо систему рівнянь для находження :   Отримаємо систему алгебраїчних рівнянь з трьох діагональною матрицею коефіцієнтів

Двовимірна задача теплопровідності

Визначаємо апроксимацію: Визначаємо апроксимацію: в околі точки

Стійкість: Стійкість: Підставляємо в різницеву схему:

ВИСНОВКИ Курсова робота виконана на тему «Лінійна крайова задача для звичайного диференціального рівняння другого порядку ». В даній роботі було розглянуто основні поняття про диференційні рівняння та теоретичні відомості. Також були описанні методи рішення параболічних рівнянь в приватних похідних. Був розглянутий приклад рішення крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку та змодельоване його рішення, та були отримані певні результати, описані вище. Також у курсовій роботі було розглянуто і з модельовано процес нагрівання пластини складної конфігурації з початковими даними. Комп’ютерна реалізація даної задачі дала нам певні розрахунки, які підтвердили, що з часом температура у пластині стає стаціонарною.

Дякую за увагу !