Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Нажмите для полного просмотра!

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №2

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №3

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №4

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №5

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №6

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №7

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №8

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №9

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №10

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №11

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №12

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №13

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №14

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №15

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №16

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №17

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №18

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №19

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №20

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №21

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №22

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №23

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №24

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №25

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №26

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №27

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №28

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №29

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Доклад-сообщение содержит 29 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Дисциплина: МАТЕМАТИКА Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна доцент кафедры математики и методики обучения математике ЮУрГГПУ akhkamovayua@cspu.ru

Слайд 2

Описание слайда:

Лекция № 18 (продолжение). Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. .

Слайд 3

Описание слайда:

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ: 3.Теоремы сложения вероятностей. 4.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Слайд 4

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком изложении. Баврин И.И. Высшая математика. Данко П.Е., Попов А.Г и др. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть II.

Слайд 5

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, Высшее образование, 2006, с. 50-63.

Слайд 6

Описание слайда:

Учебный вопрос. Теоремы сложения вероятностей.

Слайд 7

Описание слайда:

Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении в результате испытания хотя бы одного из этих событий. Пусть А - идет дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; Ω – пространство элементарных исходов испытания.

Слайд 8

Описание слайда:

Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении в результате испытания всех этих событий. Пусть события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А∙В означает «вынута дама пик».

Слайд 9

Описание слайда:

Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) – это событие, которое происходит, если не происходит событие А.

Слайд 10

$Разностью событий А и В называется событие А\В, которое состоит в том, что происходит событие А, но не происходит событие В.$

Описание слайда:

Разностью событий А и В называется событие А\В, которое состоит в том, что происходит событие А, но не происходит событие В.

Слайд 11

Описание слайда:

Теорема 1 сложения вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Р(А1)+… + Р(Аn) = 1. В частности,

Слайд 12

Описание слайда:

Пример. Контрольная работа состоит из трех задач по алгебре и трех по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0,8, а по геометрии - 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов? Решение.

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Теорема 2 сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Расширенная теорема сложения Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)-Р(АВС).

Слайд 15

Описание слайда:

Пример. Из 25 студентов группы 10 человек занимаются сноубордом, 5 – горными лыжами, 5 - сноубордом и горными лыжами, а остальные - другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом? Решение.

Слайд 16

Описание слайда:

Обозначим через А событие – выбранный спортсмен занимается только горными лыжами; через В – выбранный спортсмен занимается только сноубордом. Тогда событие - наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом можно записать как А + В. Так как события А и В совместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Найдем вероятности событий А, В и АВ. Итак, Р(А)=5/25=0,2; Р(В)=10/25=0,4; Р(АВ)=5/25=0,2 . Следовательно, Р(А+В)=0,2+0,4–0,2=0,4.

Слайд 17

Описание слайда:

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Определение. Два события называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Слайд 18

Описание слайда:

Учебный вопрос. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Слайд 19

Описание слайда:

Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В. Обозначается РА(В) или Р(В/А). По определению

Слайд 20

Описание слайда:

Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления двух событий равна произведению вероятности наступления одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло Р(АВ)=Р(А)∙Р(В/А) или Р(АВ)=Р(В)∙Р(А/В)

Слайд 21

Описание слайда:

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что все предыдущие события уже совершились Р(А1...Аn)=Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2)...Р(Аn/А1А2...Аn-1) Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)

Слайд 22

Описание слайда:

Пример. Из 25 билетов студент выучил 20. Какова вероятность того, что он вытянет счастливый билет, который знает, если он вытягивает билет: а) первым; б) вторым. Решение. а) Р= 20/25=4/5. б) обозначим события: А – первый студент вынул «счастливый» билет, В – второй студент вынул «счастливый» билет.

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Вероятность появления хотя бы одного события Пусть А1,...,Аn – независимые события. Событие А – наступило хотя бы одно из Аi, А=А1+...+Аn. Если Аi несовместны, то Р(А)=Р(А1+...+Аn)=Р(А1)+...+Р(Аn). Если Аi совместны, то рассмотрим противоположное событие - ни одно из Аi не наступило, Тогда

Слайд 25

Описание слайда:

Пример. Пусть S — множество всех исходов при трехкратном бросании монеты. Обозначим через А событие «в первый раз выпал герб», через В событие «выпало не менее двух гербов». Найдите вероятности событий Р(А), Р(В) и Р(АВ), если все исходы бросаний равновероятны. Независимы ли эти события? Решение.

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,9, второго - 0,75. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Решение. Обозначим через Аi событие – i-ый стрелок попадет в цель; противоположное событие - i-ый стрелок не попадет в цель, i =1, 2. Тогда событие - хотя бы один стрелок попадет в цель