🗊Скачать презентацию Исследование функции с помощью производной

УСТНЫЙ ОПРОС Достаточный признак возрастания функции. Достаточный признак убывания функции. Какие точки области определения функции являются критическими точками. Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма) Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака). Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)

Достаточный признак возрастания функции Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b).

Достаточный признак убывания функции Если функция f имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f убывает на интервале (а;b).

Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: f `(x) = 0.

Признак максимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х0 максимума.

Признак минимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Практическая работа Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума

1. Какова область определения функции? 1. Какова область определения функции? 2. Найдите область определения функции

3. Какая это функция: четная или нечетная?

4. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

5.На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783) Математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую академию наук и переехал в 1727 в Россию.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Найти область определения функции. (Указать множество значений переменной х, при которых данная функция определена). Исследовать функцию на четность. (Выяснить, симметрична ли область определения функции относительно начала координат и найти y = f(-x). Если f(-x) = f(x), то функция четная, если y f(-x) = -f(x), то функция нечетная). Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат). Исследовать функцию на монотонность. (Если f ’(x) > 0, то функция возрастает, если f ’(x) < 0, то функция убывает). Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума). Дополнительные точки. Построение графика.

ПРИМЕР Исследовать функцию и построить график

ГРАФИК ФУНКЦИИ

ПРИМЕР

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1. № 300 (а, б). 2. Нестандартное задание: найдите функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте их.

ИТОГ УРОКА Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной. Как влияет знак второй производной на выпуклость функции. Выставление оценок за фронтальный опрос, за блиц-опрос и за практическую работу у доски. Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока.