🗊 Раздел 5 Бездеформационные моды колебаний

Раздел 5 Бездеформационные моды колебаний

Раздел 5. Бездеформационные моды колебаний БЕЗДЕФОРМАЦИОННЫЕ МОДЫ И ВЕКТОРЫ. АСПЕКТЫ ТЕОРИИ……………… 5 - 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕЗДЕФОРМАЦИОННЫХ МОД.………………………………………. 5 - 5 ВЫБОР СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ДЛЯ ОПЕРАТОРА SUPORT… ...………………….. 5 - 8 ПРОВЕРКА СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ, УКАЗАННЫХ В ОПЕРАТОРЕ SUPORT…..… 5 - 9 БЕЗДЕФОРМАЦИОННЫЕ МОДЫ И ВЕКТОРЫ ………………………..…………….. 5 - 11

Бездеформационные моды и векторы. Аспекты теории Незакрепленная конструкция может перемещаться без возникновения в ней внутренних сил и напряжений. Например: В случаях (a) и (b) конструкция может перемещаться как жесткое тело.

Бездеформационные моды и векторы. Аспекты теории Присутствие жестких тел и/или механизмов обнаруживается по наличию нулевых собственных частот. В предположении положительной определенности матрицы масс [M], нулевые собственные значения являются результатов положительной полу-определенности матрицы жесткости, т.е. Оператор SUPORT не закрепляет конструкцию. С помощью его определяются компоненты набора R-set. При модальном анализе R-set определяет системы координат, в которых вычисляются бездеформационные моды.

Вычисление бездеформационных мод Если определен R-set, MSC.Nastran вычисляет бездеформационные моды следующим методом: Шаг 1: разделение A-set ul ua = ur Шаг 2: решение для ul через ur . Замечание: нагрузка Pr в действительности не прикладывается!

Вычисление бездеформационных мод ul = Dm ur где Это используется для формирования совокупности бездеформационных мод.

Вычисление бездеформационных мод Шаг 3: Преобразования матриц где [Mr] – в общем случае недиагональная матрица Методом Грама-Шмидта (Gram-Schmidt) (в модуле READ), матрица [Mr] преобразуется к ортогональному виду с использованием вектора [ro] Шаг 4: Вычисляются бездеформационные моды со следующими свойствами:

Выбор степеней свободы для оператора SUPORT Выбор степеней свободы для оператора SUPORT нужно производить с осторожностью. При “перемещениях” степеней свободы, отобранных для оператора SUPORT, в конструкции не должны развиваться внутренние напряжения (принцип статической определимости).

Проверка степеней свободы, указанных в операторе SUPORT MSC.Nastran вычисляет энергию деформаций (работу) для каждой бездеформационной моды. Для бездеформационной моды энергия  0. Заметим, что вектор [X] также является результатом преобразования матрицы жесткости [Kaa] в R-set координаты, который, по определению бездеформационных мод (нулевая собственная частота), должен быть нулевым. MSC.Nastran также вычисляет коэффициент погрешности бездеформационной моды где - Эйлерова норма матрицы Замечание: для всех СС, указанных в операторе SUPORT, на основе [X] и [Krr] вычисляется только одно значение .

Проверка степеней свободы, указанных в операторе SUPORT Если не принимать во внимание ошибки округления, коэффициент погрешности бездеформационной моды и энергия деформаций должны быть равны нулю (при правильном выборе СС для оператора SUPORT). Эти величины м.б. не нулевыми по следующим причинам: Накопление ошибок округления “Переопределенность” ur-set (высокая энергия деформации). “Недоопределенность” u- set – сингулярность матрицы жесткости (большое значение коэффициента погрешности). Несовместимость межузловых связей MPC (высокая энергия деформации и большое значение коэффициента погрешности). Излишнее количество граничных условий (высокая энергия деформации и большое значение коэффициента погрешности). Матрица Krr нулевая (коэффициент погрешности равен 1, а энергия деформаций – низкая). Это, однако, приемлемо и может иметь место при использовании обобщенного динамического редуцирования.

Бездеформационные моды и векторы В MSC.Nastran вычисляются “упругие” моды, ассоциирующиеся с A-set матрицами масс и жесткости. Первые N мод (где N – количество СС в R-set) отбрасываются, а N бездеформационных мод подставляются на “их” место. Замечание: MSC.Nastran не проверяет, что отбрасываемые моды являются бездеформационными (т.е.,  = 0). После указанных преобразований над динамической системой и нормализации мод по массе имеем

Бездеформационные моды и векторы В результате преобразований имеем: Усилия закреплений отсутствуют, т.е. Если элементы демпфирования не сопрягаются с неподвижным основанием, то Таким образом,

Бездеформационные моды и векторы Если демпфирование “пропорциональное”, тогда Уравнения динамики при модальном анализе полностью несвязанные.