🗊Презентация Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы

Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы учитель математики МБОУ СОШ № 143 Князькина Т. В.

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе: log k(x) f (x) ∨ log k(x) g(x) ⇒ (f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) ∨ 0 Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми. Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Не забывайте ОДЗ логарифма! Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.

Имеем: (10 − (x2 + 1)) · (x2 + 1 − 1) < 0; (9 − x2) · x2 < 0; (3 − x) · (3 + x) · x2 < 0. Нули этого выражения: x = 3; x = −3;  x = 0. Причем x = 0 — корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем: Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ. Ответ: x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)

Преобразование логарифмических неравенств Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами. А именно: Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием; Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом. Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство; Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов; Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Решите неравенство: Решение Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма: Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: 3x − 2 = 0; x = 2/3. Затем — нули знаменателя: x − 1 = 0; x = 1. Отмечаем нули и знаки на координатной прямой:

(f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) < 0; ((x − 1)2 − 22)(2 − 1) < 0; x2 − 2x + 1 − 4 < 0; x2 − 2x − 3 < 0; (x − 3)(x + 1) < 0; x ∈ (−1; 3). Получили два множества: ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞); Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3). Осталось пересечь эти множества — получим настоящий ответ:

Решение заданий ЕГЭ-2014 типа С3