🗊Презентация Свойства степени с натуральными показателями. 7 класс

Свойства степени с натуральными показателями Алгебра 7 класс Учитель математики Краузе Т.В.

Эпиграф урока

Михаил Васильевич Ломоносов (1711-1765) первый русский учёный-естествоиспытатель мирового значения, энциклопедист, химик и физик, астроном, приборостроитель, географ, металлург, геолог, поэт, художник, историк, действительный член Академии наук и художеств, профессор химии.

Примеры использования степени в реальной действительности

Примеры использования степени в реальной действительности

Примеры использования степени в реальной действительности Продолжительность обращения планет вокруг Солнца (и спутников вокруг планет) связана с расстояниями от центра обращения степенной зависимостью: отношение R3/T2 одинаково для всех планетарных орбит.

Примеры использования степени в реальной действительности Электростатическое и магнитное взаимодействия, свет, звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния

Примеры использования степени в реальной действительности Инженер, производя расчёты на прочность, имеет дело с четвёртыми степенями, а при других вычислениях (например, диаметра паропровода) – –даже с шестой степенью.

Примеры использования степени в реальной действительности Исследуя силу, с которой текучая вода увлекает камни, гидротехник наталкивается на зависимость также шестой степени.

Примеры использования степени в реальной действительности Яркость нити накаливания в электрической лампочке растёт при белом калении с двенадцатой степенью температуры

Примеры использования степени в реальной действительности а при красном – – с тридцатой степенью температуры

Ответы к заданиям блиц-опроса I вариант 1 -1 108 15 7 II вариант 1 1 1010 23 6

Критерии оценивания

Составь формулу: а) a m • n б) m + n 1. am ∙an в) a m : n 2. am : an г) m ̶ n 3. (am) n д) m • n е) a m ̶ n ж) a m + n   Ответ: 1→ … , 2 → … , 3→…  

Заполни пропуски Правило 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают. Правило 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя . Правило 3. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Представьте выражение в виде степени: a9∙ a15= b30∙ b= c12∙ c ∙ c50= d5 ∙ d19∙ d ∙ d45= (a+b)6 ∙ (a+b)29 = (cd) ∙(cd)37 ∙ (cd)12 =

Представьте выражение в виде степени: m25: m5= n63: n9 : n18= (p-q)72 :(p-q)8 :(p-q)= (rs)45 :(rs) :(rs)11=

Представьте выражение в виде степени: (x7)8= ((x+y)15)6= ((uv)24)5= ((z2)3)5=

История развития понятия «степень» У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика»

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так: В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так: «Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Символы, которые использовал Диофант для обозначения первых шести степеней неизвестного

Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Николай Орем (1323–1382 гг.) Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема в его труде “Алгоризм пропорций”.

Никола Шюке (ХV век) Французский математик и врач, бакалавр медицины, автор трактата по арифметике и алгебре «Наука о числе» (1484) (опубликованном только в 1848 г. в Лионе), смело ввёл не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. Алгебраическая символика Шюке приближалась к современной, кроме того, у него впервые встречаются термины «биллион», «триллион», «квадриллион».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михаэля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль.

Михаэль Штифель (1487-1567) немецкий математик, один из изобретателей логарифмов, дал определение a0=1 и ввел название «показатель» (это буквенный перевод немецкого Exponent), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели.

Франсуа Виет (1540-1603) французский математик, основоположник символической алгебры, юрист по образованию и основной профессии, ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.

Симон Стевин (1548—1620) нидерландский математик, механик и инженер, обозначал неизвестную величину кружком, внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т.д. и отверг диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб»…

Альберт Жирар (1595-1632) французский математик, живший и работавший в Нидерландах, в своей книге «Новое изобретение в алгебре» (1629) использует такую форму записи: (2)17 вместо 172 .

Рене Декарт (1596-1650) (французский философ, математик, физик и физиолог) ввел в XVII веке современные обозначения степеней (a4, a5,…). Любопытно, что Декарт считал, что a∙a не занимает больше места, чем a2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) немецкий математик (физик, юрист, философ), применял знак a2, считая, что упор должен быть сделан на необходимость применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона. Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона.

Джон Валлис, (Уоллис) (1616-1703) английский математик, сын священника,  феноменальный счётчик, не получивший однако никакого математического образования, занимаясь самостоятельно. Он впервые (в 1665 г.) подробно писал о целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов.

Исаак Ньютон (1643-1727) английский физик, математик, механик и астроном, завершивший дело Джона Валлиса. Стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.  

Литература Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса / Б.Г.Зив, В.А. Гольдич. – 2003. – 136 с.: ил. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2001. – 96 с. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – Д.: ВАП, 1994. – 200 с.