🗊Презентация Уравнения с одной переменной

Уравнения с одной переменной Целое уравнение и его корни

Правила Правила Уравнения называются ЦЕЛЫМИ, если у них левая и правая части являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными). ___________________________________ Всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – нуль. ___________________________________ Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения

Устно №265

Надо научиться решать уравнения n-й степени Рn(х)=0 При n=1 имеем линейное уравнение ax +b=0? у которого 1 корень х=-b/a При n=2 имеем квадратное уравнение ax²+bx+c=0 (a≠0) Количество корней зависит от дискриминанта D=b²-4ac D>o – два различных корня; D=o – два одинаковых корня; D<o – нет корней

Уравнение n-й степени Рn(х)=0 Уравнение n-й степени Рn(х)=0 имеет не более n корней Для 3-й и 4-й степени существуют формулы для нахождения корней, но они очень громоздки и сложны. Для 5-й степени и выше формул нет (доказано в 19в. Нильсом Абелем и Эваристом Галуа) Уравнения 3-й; 4-й и выше степеней – уравнения высоких степеней

КАК РЕШАТЬ?

Три основных приёма: Разложение на множители Замена переменной Графический способ

Пример1. х³+2x²-x-2=0 x²(х+2) – (х+2)=0 (х+2)(x²-1)=0 (х+2)(х-1)(х+1)=0 х=-2; х=-1; х=1

Пример2. 6х²(x-1)-x²+x-2x+=0 6х²(x-1)-(х²-x)-(2х-2)=0 6х²(x-1)-х(х-1)-2(х-1)=0 (х-1)(6х²-x-2)=0 х=1; х=2/3; х=-1/2

Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ax³+bx²+cx+d=0, где a≠0 Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством у= х-(b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому(каноническому) виду: y³+py+q=0, где p=-b²/3a²+c/a, q=2b/27a³-bc/3a²+d/a

Решение кубического уравнения можно получить с помощью формулы Кардано:

Биквадратное уравнение ах +bx²+c=0

Пример3. 4х - 5х² + 1=0 у=х² 4у²-5у+1=0 у=1; у=1/4 х=-1; х=1; х=1/2; х=-1/2

Пример4. (х²-2x)²-4(x²-2x)+3=0 у=(x²-2x) у²-4у+3=0 у=1; у=3 х²-2х=1 х²-2х=3 х²-2х-1=0 х²-2х-3=0 х=1-√2; х=1+√2; х=-1; х=3

Пример5. (х²+4х+3)(х²+4х+1)=48 у= (х²+4х+1) у(у+2)=48 у²+2у-48=0 у=-8 у=6 х²+4х+1=-8 х²+4х+1=6 х²+4х+9=0 х²+4х-5=0 корней нет х=-5; х=1

Пример 6. (х-1)(х+1)(х+3)(х+5)=105 При решении этой задачи важно сообразить, что (х-1)(х+5)=х²+4x-5, (х+1)(х+3)= х²+4x+3. Поэтому изменив порядок умножения сомножителей в исходном уравнении, получим: (х²+4x-5)(х²+4x+3)=105. Далее решаем вводом новой переменной у= х²+4x-5 и получим уравнение у(у+8)=105, корни которого у1=-15 и у2=7. Решим уравнения х²+4x-5=-15 (корней не имеет) и х²+4x-5=7( корни х1=-6 и х2=2)

Пример 7. (х²+3x-8)²+2x(х²+3x-8)-3х²=0 Многочлен, который стоит в левой части уравнения, легко свести к однородному многочлену двух переменных, если ввести замену у= (х²+3x-8). Тогда уравнение примет вид: y²+2xy-3x²=0. Решим его как квадратное по переменной у,

y²+2xy-3x²=0 y²+2xy-3x²=0 D= у= у=

Возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения: Возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения: х²+3x-8=-3х и х²+3x-8=х

Решите уравнение: №272(а) y³-6y=0

Решите уравнение: №272(д) 9х³-18x²-x+2=0

Решите уравнение: №276(а) (2х² +3)² – 12(2х²+3)+11=0 Заменим (2х²+3)=h, имеем h²-12h+1=0

Решите уравнение: №278(а) х – 5х² -36=0

Теорема Безу.

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося. Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося.

Любой многочлен R(x) можно представить в виде: Любой многочлен R(x) можно представить в виде: P(x)= (х-а) Q(х) + r, где r =P(a) Пример 1. Найти остаток от деления х -6х +8 на х+2

Теорема Безу. Теорема Безу. Если уравнение а х + a x + … + a x+a = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена. Пример 2. Решите уравнение х³-8х²+19х-12=0

х³-8х²+19х-12=0 Свободный член – 12 имеет делители 1, 2,  3, 4, 6, 12. При x=1 значение многочлена равно 0. Это означает, что 1 является корнем уравнения, а х³-8х²+19х-12 делится на (x-1). Выполнив деление, получим уравнение х²-7х+12=0 , решая которое, получим что x=3 или x=4. Ответ: 1; 3; 4.

Решение задач. 1) Решить уравнения: а) х³-3х²-4х+12=0, б) х³+4х²+5х+2=0, в) х +4х³+х²-12х-12=0, г) х +4х³-х²-16х-12=0.

Решим уравнение с помощью теоремы Безу: Решим уравнение с помощью теоремы Безу: х³-6х²+11х-6=0

Можно не делить многочлен на двучлен, а воспользоваться схемой Горнера Можно не делить многочлен на двучлен, а воспользоваться схемой Горнера

Решить уравнение: х³-5х+4=0 х³-3х+2=0 4: на +/-1;+/-2; +/-4

Возвратные уравнения Рассмотрим уравнения: x³-3x²-3x+1=0 3х -7х³+x²-7x+3=0 -х³+5x²+5x-1=0 Все три уравнения объединяет то, что коэффициенты равноотстоящие от начала и конца левой части уравнения равны. Такие уравнения называются возвратными.

КАК РЕШАТЬ?

Рассмотрим методы решения возвратных Рассмотрим методы решения возвратных уравнений 3-ей и 4-ой степени. В общем виде возвратное уравнение 3-ей степени имеет вид (3)

Тогда уравнение (3) примет вид Тогда уравнение (3) примет вид

Рассмотрим возвратное уравнение 4-ой степени (4)

Полученное уравнение можно решить уже знакомым нам методом замены переменной. Полученное уравнение можно решить уже знакомым нам методом замены переменной.

Решив это уравнение, найдем его корни t1и t2 Теперь чтобы найти корни уравнения (4) необходимо решить два уравнения Решив это уравнение, найдем его корни t1и t2 Теперь чтобы найти корни уравнения (4) необходимо решить два уравнения

Решение. Имеем возвратное уравнение 4-ой степени. Разделим обе части уравнения на х², проведем группировку слагаемых и вынесем общие множители за скобки, получим уравнение

Решая это уравнение, получим Решая это уравнение, получим

Решить уравнения: 5х³-4x²-4x+5=0

Решить уравнения: 2x -5x³+4x²-5x+2=0

Однородные уравнения Одноро́дным уравнением n-й степени, называется дифференциальное уравнение вида: Такое уравнение заменой    сводится к алгебраическому уравнению n-ой степени:

Примеры однородных уравнений: sin х — cos х = 0,

КАК РЕШАТЬ?

(х-3)+4(х+3)=5(х-3)²(х+3)² (х-3)+4(х+3)=5(х-3)²(х+3)² Разделим обе части уравнения на (х-3) и сделаем замену t=((х+3):(х-3))² Получим равносильное уравнение: 1+4t²=5t, корни которого равны: t=1 ; t=¼ Сделаем обратную замену

Итоги урока: Какие уравнения называются уравнениями высоких порядков? Что значит решить уравнение? Сколько корней может иметь уравнение высоких порядков? Какие основные способы решения уравнений высоких порядков?

Задание на самоподготовку: п.12. №272(б,е); 276(б,г); 278(б,д).