Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Кратные интегралы
Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Слайд 2
Описание слайда:
Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0.
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область .
С геометрической точки зрения - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Слайд 3
Описание слайда:
Разобьем область на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние , а по оси у – на . Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны
В каждой частичной области возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области .
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
Слайд 4
Описание слайда:
Определение
Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .
учетом того, что получаем:
В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек , то, считая все площади одинаковыми, получаем формулу:
Слайд 5
Описание слайда:
Условия существования двойного интеграла
Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует.
Слайд 6
Описание слайда:
Теорема
Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.
Слайд 7
Описание слайда:
Свойства двойного
интеграла.
1)
2)
3) Если = 1 + 2, то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
5) Если f(x, y) 0 в области , то
6) Если f1(x, y) f2(x, y), то
7)
Слайд 8
Описание слайда:
Вычисление двойного
интеграла
Теорема
Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где и - непрерывные функции и
, тогда
Слайд 9
Описание слайда:
Теорема.
Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y) (y)), то
Слайд 10
Описание слайда:
Замена переменных в двойном интеграле
Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная изменяется в пределах от a до b, а переменная – от до
Положим
Тогда
Слайд 11
Описание слайда:
т.к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то
т.к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то
подставляя это выражение в записанное выше соотношение для , получаем:
Слайд 12
Описание слайда:
Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и
Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и
(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)
Тогда
Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для принимает вид ( при первом интегрировании полагаем ), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
Слайд 13
Описание слайда:
Двойной интеграл в полярных координатах.
Воспользуемся формулой замены переменных:
При этом известно, что
В этом случае Якобиан имеет вид:
Тогда
Здесь - новая область значений,
Презентацию на
тему КРАТНЫЕ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ можно скачать бесплатно ниже: